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| Untersuchte Arbeit: Seite: 359, Zeilen: 1-24 |
Quelle: Kellermann 2001 Seite(n): 219, 220, Zeilen: 219: 18ff; 220: 1ff |
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| 5.3.3 Versicherungsmathematisches Modell zur Preisermittlung von PCS-Optionen
In diesem Abschnitt wird ein versicherungsmathematisches Modell vorgestellt, das den Schadenindexprozess L(t) abzubilden versucht und auf diese Weise den fairen Wert einer PCS-Option ermittelt. 5.3.3.1 Grundsätzliche Überlegungen Im risikoneutralen Raum entspricht der heutige Wert eines Finanztitels dem mit dem risikolosen Zins diskontierten erwarteten zukünftigen Wert. Der Wert einer PCS-Option berechnet sich zum Zeitpunkt der Fälligkeit T durch die Differenz aus dem dann aktuellen Indexwert L(T) und dem vereinbarten Basispreis k. Für eine PCS-Call-Option ergibt sich der Wert zum Zeitpunkt T damit folgendermaßen:
Berücksichtigt man auch den Cap γ einer Option, der für Small-Cap-Optionen bei 200 und für Large-Cap-Optionen bei 500 Indexpunkten liegt, ergibt sich c(T) zu:943
Jeder Indexpunkt entspricht einem Betrag von 200 USD. Bei positivem Wert der Option zum Fälligkeitszeitpunkt T berechnet sich der Ausgleichsbetrag durch Multiplikation des ermittelten Wertes mit 200 USD. Zur Bestimmung des heutigen Wertes einer Option ist damit die Kenntnis des zukünftigen Erwartungswertes der PCS-Option erforderlich. Findet man nun die Verteilung von L(T) heraus, so kann daraus die Verteilung V der möglichen Payoffs der Option zum Zeitpunkt T abgeleitet werden.944 Der Erwartungswert dieser Verteilung V stellt dann den Wert der Option im Zeitpunkt T dar. Der Wert der Option im Zeitpunkt t0 = 0 c(0) ergibt sich zu:945 (5.16)
943 Zur Bestimmung des Ausgleichsbetrages ist der nach (5.15) ermittelte Wert mit 200 zu multiplizieren, vgl. Schradin, H. R. (1998), S. 417. 944 Vgl. Chriss, N. A. (1997), S. 307. 945 Vgl. Terstege, U. (1995), S. 42 f. |
3. Ein versicherungsmathematisches Modell zur Preisermittlung von PCS-Optionen
Im folgenden soll Flasse, Hartung und Liebwein folgend, die klassische Versicherungstechnik angewendet werden, um den Indexprozeß L(t) zu modellieren und auf dieser Basis den Wert einer PCS-Option zu ermitteln. a.) Der Wert einer Option Unter der Annahme einer risikoneutralen Welt entspricht der heutige Wert eines Finanztitels dem mit dem risikolosen Zins diskontierten erwarteten zukünftigen Wert. Der Wert einer PCS-Option wird im Zeitpunkt der Fälligkeit T durch die Differenz zwischen [Seite 220] dem dann gültigen Indexwert L(T) und ihrem Basispreis k bestimmt. Für eine PCS-Call-Option ergibt sich der Wert zum Zeitpunkt T damit als:
Unter Berücksichtigung des Cap γ einer Option, der für Small Cap-Optionen bei 200 und für Large Cap-Optionen bei 500 Indexpunkten liegt, ergibt sich c(T) zu:
Zur Bestimmung des Ausgleichsbetrages bei einem positiven Wert der Option im Zeitpunkt T, ist der ermittelte Wert entsprechend mit 200 zu multiplizieren, so daß jeder Indexpunkt einem Wert von 200 USD entspricht. Die Ermittlung des heutigen Wertes einer Option erfordert damit die Kenntnis des zukünftigen Erwartungswertes der PCS-Option. Gelingt es also, die Verteilung von L(T) zu generieren, so könnte auf dieser Basis die Verteilung V der möglichen Pay-offs der Option zum Zeitpunkt T abgeleitet werden, deren Erwartungswert damit den Wert der Option im Zeitpunkt T darstellt.897 Der Wert der Option im Zeitpunkt 0 c(0) ergäbe sich dann zu:898
897 Vgl. Chriss, N.A., 1997, S. 307. 898 Terstege bezeichnet Modelle, die diese Vorgehensweise zur Ermittlung eines Optionspreises zugntndelegen, als präferenzabhängige Modelle. Die Präferenzabhängigkeit resultiert dabei aus der explizit zu treffenden Annahme über den zu wählenden Diskontierungsfaktor, der durch die Anlegerpräferenzen bestimmt wird. Vgl. Terstege, U., 1995, S. 42f. |
Ein Quellenverweis fehlt. |
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