Quelle:Wpi/Krabs 1998

Angaben zur Quelle [Bearbeiten]

Autor	Werner Krabs
Titel	Dynamische Systeme. Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten
Ort	Stuttgart, Leipzig
Verlag	B. G. Teubner
Jahr	1998
ISBN	3-519-02638-4
Literaturverz.	ja
Fußnoten	nein
Fragmente	26

Fragmente der Quelle:

[1.] Analyse:Wpi/Fragment 050 16 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-02-27 06:04:26 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Unfertig, Verschleierung, Wpi

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 50, Zeilen: 16 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 81; 82, Zeilen: 81: 24 ff. (bis Seitenende); 82: 1-11

Dabei sind $x_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{l_i}$ und $\displaystyle g_{i}:\prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{l_{j}}\rightarrow \mathbb {R} ^{l_{i}}$ vorgegebene Vektorfunktionen entsprechend der obigen Dynamik. Steuernd in das System eingreifen bedeutet nun die Berücksichtigung eines Steuerterms $u_{i}(t)$ bei jedem Akteur $i$: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &\quad x_i(t + 1) = x_i(t) + f_i(x(t), u(t)) \qquad \qquad \tag{3.1.4}\\ \qquad &\qquad \text{mit } u(t) = (u_l(t), \dots, u_n(t))\\ \qquad &\text{für } i = 1,\ldots,n \text{ und } t \in \mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{ 0 \}\;\;. \end{align*} } Nun wird $x_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{l_i}$ zu einer Vektorfunktion zusammengefaßt: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &\;x(t) = (x_l(t),\ldots,x_n(t)) \tag{3.1.5}\\ \qquad &\text{für } t \in \mathbb{N}_0 \text{ und } i = 1,\ldots,n. \end{align*} } Die einzelnen stetigen Funktionen $\displaystyle f_{i}:\prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{l_{j}}\times \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\rightarrow \mathbb {R} ^{l_{j}},\;i=1,\ldots ,n,$ nennen wir Zustandsvektorfunktionen, die einzelnen $u_{i}:\mathbb {N} _{0}\rightarrow \mathbb {R} ^{m_{i}},\;i=1,\ldots ,n,$ die Steuerungsfunktionen des Systems in ( [sic!] 3.1.4). Diese müssen zusätzlich der folgenden Nebenbedingung genügen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_i(t) \in U_i,\; U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i} \text{für alle } i = 1,\ldots,n \text{ und } t \in \mathbb{N}_0. \tag{3.1.6} \end{equation*} }

[S. 81, 24 ff. (bis Seitenende)] Vorgegeben sei ein gesteuertes dynamisches System, dessen Dynamik beschrieben wird durch Differenzengleichungen der Form Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &x_i(t+1) = x_i(t) + f_i(x(t),u(t)) \tag{3.26}\\ &\text{für } i=1,\ldots,n \text{ und } t \in \mathbb{N}_0\;. \end{align*} } [S. 82, 1-11] Dabei sind $x_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{n_i}$ bzw. $u_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i}$ für $i=1,\ldots,n$ Zustands- bzw. Steuerungsvektorfunktionen, zusammengesetzt zu Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad x(t) = (x_1(t),\ldots,x_n(t)),\; u(t) = (u_1(t),\ldots,u_n(t)) \; \text{für}\; t \in \mathbb{N}_0, \end{equation*} } und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \displaystyle \qquad f_i : \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{n_j} \times \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j} \rightarrow \mathbb{R}^{n_i} \;\text{für}\; i = 1,\ldots,n \end{equation*} } vorgegebene Vektorfunktionen.    Weiter seien für jedes $i=1,\ldots,n$ nichtleere Mengen $X_i \subseteq \mathbb{R}^{n_i}$ und $U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i}$ vorgegeben. Dann fordern wir Steuerungsnebenbedingungen der Form Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_i(t) \in U_i \text{ für alle } i = 1,\ldots,n \;\text{ und }\; t \in \mathbb{N}_0 \tag{3.27} \end{equation*} } und Zustandsnebenbedingungen der Form Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad x_i(t) \in X_i \text{ für alle } i = 1,\ldots,n \;\text{ und }\; t \in \mathbb{N}_0. \tag{3.28} \end{equation*} }

Anmerkungen (1) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Diverse Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (2) Der Verfasser übernimmt ohne Zitation die Konzepte der Quelle Krabs 1998, insbesondere werden die Konzepte nicht etwa der eigenen Darstellungsweise gemäß aufgefasst, sondern direkt übernommen. (3) Der Verfasser gibt unter Verweis auf [KP98] auf S. 50, Zeilen 1-5, lediglich an, dass mittels der einfachen Beispiele am Ende des Kapitels 3 gezeigt wird, dass "das Kontrollproblem in kürzester Zeit gelöst werden kann". Die tatsächliche Übernahme (des gesamten hier vorliegenden Fragments) aus der Quelle wird nicht kenntlich gemacht.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), HanneloreH, Primzahl

[2.] Analyse:Wpi/Fragment 051 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 14:37:40 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Verschleierung, Wpi, ZuSichten

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 51, Zeilen: 1-24

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 82, Zeilen: 7 ff. (bis Seitenende)

Eine Steuerungsfunktion, deren Bild innerhalb der nichtleeren Steuermenge $U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i}$ liegt, bezeichnen wir auch als zulässig. Ferner gelten Zustandsbedingungen $X_i$ der Form Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad x_i(t) \in X_i \text{ für alle } i=1,\ldots,n \text{ und } t \in \mathbb{N}_0, \text{ wobei } X_i \subseteq \mathbb{R}^{l_i}. \tag{3.1.7} \end{equation*} } Schließlich seien noch Anfangsbedingungen der Form Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad x_i(0) = x_{i0} \text{ für } i=1,\ldots,n \tag{3.1.8} \end{equation*} } vorgegeben, wobei $x_{0i} \in X_i$ für $i=1,\ldots,n$ ebenfalls vorgegebene Werte sind. Wählt man $n$ Steuerungsfunktionen $u_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow U_i$ für $i=1,\ldots,n$ aus, so sind dadurch $n$ Zustandsfunktionen $x_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{l_i}$ für $i=1,\ldots,n$, die  [sic!] (3.1.4) und  [sic!] (3.1.8) erfüllen, eindeutig festgelegt. Um das Problem der Steuerbarkeit untersuchen zu können, sollen noch die folgenden (plausiblen) Annahmen gemacht werden: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} \;&\text{1.} &\;&\text{Es ist } \theta_{m_i} \in U_i \text{ für alle } i=1,\ldots,n\;\;,\\ & & &\text{wobei } \theta_{m_i} \text{ der Nullvektor des } \mathbb{R}^{m_i} \text{ ist. }\\ \;&\text{2.} &\;&\text{Das nichtlineare System}\\ & & & \qquad f_i(\widehat{x}_1,\ldots,\widehat{x}_n, \theta_{m_1},\ldots,\theta_{m_n}) = \theta_{n_i},\; i=1,\ldots,n \tag{3.1.9}\\ & & & \text{besitze Fixpunkt-Lösungen } \widehat{x} = (\widehat{x}_1,\ldots,\widehat{x}_n) \in \prod^n_{j=1} X_j \text{für } i=1,\ldots,n. \end{alignat*} } 3.1.1 Das Problem der Steuerbarkeit Wir wollen nun im folgenden davon ausgehen, daß $\displaystyle \widehat{x} \in \prod^n_{j=1} X_j$ für $i=1,\ldots,n$ eine Lösung von  [sic!] (3.1.9) sei. Gesucht sind nun Steuerungsfunktionen $u_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i} \text{ für } i=1,\ldots,n \text{ und ein } N \in \mathbb{N}$ derart, daß unter den Bedingungen  [sic!] (3.1.4) -  [sic!] (3.1.8) gilt: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &\;\;\; u_i(t) = \theta_{m_i} \text{ und } x_i(t) = \widehat{x}_i \tag{3.1.10}\\ &\text{ für alle } i=1,\ldots,n \text{ und } t \ge N. \end{align*} }

Weiter seien für jedes $i=1,\ldots,n$ nichtleere Mengen $X_i \subseteq \mathbb{R}^{n_i}$ und $U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i}$ vorgegeben. Dann fordern wir Steuerungsnebenbedingungen der Form Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_i(t) \in U_i \text{ für alle } i=1,\ldots,n \text{ und } t \in \mathbb{N}_0 \tag{3.27} \end{equation*} } und Zustandsnebenbedingungen der Form Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad x_i(t) \in X_i \text{ für alle } i=1,\ldots,n \text{ und } t \in \mathbb{N}_0 \; .\tag{3.28} \end{equation*} } Schließlich seien noch Anfangsbedingungen der Form $x_i(0) = x_{0i} \text{ für } i=1,\ldots,n$ vorgegeben, wobei $x_{0i} \in X_i$ für $i=1,\ldots,n$ ebenfalls vorgegeben sind.    Wählt man $n$ Steuerungsfunktionen $u_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow U_i$ für $i=1,\ldots,n$, so sind dadurch $n$ Zustandsfunktionen $x_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{n_i}$ für $i=1,\ldots,n$ die (3.26) und (3.29) erfüllen, eindeutig festgelegt. Wir machen nun die folgenden Annahmen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} \;\;&\text{1.} &\;&\text{Es ist } \theta_{m_i} \in U_i \text{ für alle } i=1,\ldots,n.\\ &\text{2.} &\;&\text{Das System}\\ & &\;&\qquad f_i(\hat{x}_1,\ldots,\hat{x}_n, \theta_{m_1},\ldots,\theta_{m_n}) = \theta_{n_i},\; i=1,\ldots,n \tag{3.30}\\ & &\;&\text{besitze Lösungen } \hat{x}_i \in X_i \text{ für } i=1,\ldots,n. \end{alignat*} } Problem der Steuerbarkeit: Vorgegeben seien Lösungen $\hat{x}_i \in X_i$ für $i=1,\ldots,n$ von (3.30). Gesucht sind Steuerungsfunktionen $u_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i}$ für $i=1,\ldots,n$ und ein $N \in \N$ derart, daß unter den Bedingungen (3.26) - (3.29) gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &\;\;u_i(t) = \theta_{m_i} \text{ und } x_i(t) = \hat{x}_i \tag{3.31}\\ &\text{ für alle } i=1,\ldots,n \text{ und } t \ge N. \end{align*} }

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte der Quelle Krabs 1998 werden hierbei in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Die Nebenbedingungen in der vorliegenden Arbeit sind inhaltlich unverändert aus der Quelle Krabs 1998 übernommen.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), Primzahl

[3.] Analyse:Wpi/Fragment 052 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 14:42:20 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Verschleierung, Wpi, ZuSichten

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 52, Zeilen: 1-3, 8-11, 13-16, 18-33

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 71, 83, Zeilen: 71: 31 ff. (bis Seitenende); 83: 2-19

[S. 52, 1-3] Es bieten sich nun zwei Möglichkeiten an, den gewünschten Fixpunkt zu erreichen: $\quad \bullet$ ein kooperatives Verfahren oder $\quad \bullet$ ein nicht-kooperatives Vorgehen [sic!] [S. 52, 8-11] Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &v^t_i(u) = \| x_i(u) (t+1) - \hat{x}_i \|^2_2 + \| u_i \|^2_2\; \text{ für }\; i=1,\ldots,n \tag{3.1.12}\\ &\qquad \| . \|_2\; \text{ bezeichnet die euklidische Norm}\\ &\qquad\qquad x(t) = ( x_1(t),\ldots,x_n(t) )\\ &\; x_i(u)(t+1) := x_i(t) + f_i(x(t),u(t)),\; t \in \mathbb{N}_0,\; i=1,\ldots,n \tag{3.1.13} \end{align*} } [S. 52, 13-16] Wesentlich ist nun, daß der Betrag des Spielers $i$ nicht nur von der Wahl seiner eigenen Steuergröße bestimmt wird. Somit wird es ihm auch nicht möglich sein, seine Zielfunktion ohne Berücksichtigung der anderen Akteure zu minimieren. [S. 52, 18-33] [...] soll daher im folgenden die Funktion Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad v^t_i: \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j} \rightarrow \mathbb{R}_+ \tag{3.1.14} \end{equation*} } auch als charakteristische Funktion bzw. als Auszahlungsfunktion des $i$-ten Spielers bezeichnet werden. Der einzelne Spieler verfügt jeweils über die Strategiemenge $U_i$, mit der er das Spiel zu beeinflussen bzw. (besser) zu steuern versucht. Dabei sind die Spieler jetzt an die Menge der zulässigen Steuerungen Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad Z_t = \biggl\{ u \in \prod^n_{j=1} U_j \,|\, x_i(u)(t+1) \in X_i \quad \text{ für } i=1,\ldots,n \biggr\} \tag{3.1.15} \end{equation*} } gebunden. Man kann somit die Systemdynamik auch als Spielregeln eines Spieles auffassen, die nach Krabs von Zeitpunkt zu Zeitpunkt gespielt werden: In dem Spiel hat jeder Spieler $i$ die Intention, den Wert $v^t_i(u)$ zu minimieren. Hierfür gibt es zwei alternative Möglichkeiten: Eine kooperative Verhaltensweise oder eine nicht-kooperative Vorgehensweise. Da der Auszahlungswert von allen Steuerungen abhängt, ist nicht zu erwarten, daß sich in beiden Fällen identische Lösungen ergeben.

[S. 71, 31 ff. (bis Seitenende)] Hierfür haben sich in der Spieltheorie zwei Konzepte herausgebildet:   (a) Kooperatives Verhalten, das zu einem sog. Pareto-Optimum führt.   (b) Nicht-kooperatives Verhalten, das zu einem sog. Nash-Gleichgewicht führt. [S. 83, 2-19] Wir denken uns für ein $t \in \mathbb{N}_0$ Vektoren $x_i(t) \in X_i \text{ für } i=1,\ldots,n$ vorgegeben. Für $t=0$ wählen wir $x_i(0) = x_{0i} \text{ für } i=1,\ldots,n\;.$ Für jeden Vektor $\displaystyle u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j}$ definieren wir Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad x_i(u)(t+1) = x_{i}(t) + f_i(x(t),u) \text{ für }\; i=1,\ldots,n\;, \end{equation*} } wobei $x(t) = (x_1(t),\ldots,x_n(t))$ , und damit Funktionen Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad a^t_i(u) = \| x_i(u) (t+1) - \hat{x}_i \|^2_2 + \| u_i \|^2_2\; \text{ für }\; i=1,\ldots,n\;, \tag{3.32} \end{equation*} } wobei $\| \cdot \|_2$ die Euklidische Norm bezeichnet.    Für jedes $i=1,\ldots,n$ fassen wir die Funktion $\displaystyle a^t_i: \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j} \rightarrow \mathbb{R}_+$ als Auszahlungsfunktion an den $i$-ten Spieler eines Spieles auf, bei dem der $i$-te Spieler über die Strategiemenge $U_i$ verfügt, mit der er das Spiel zu "steuern" versucht. Dabei sind aber die Spieler an die Menge der zulässigen Steuerungen Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad Z_t = \{ u \in \prod^n_{j=1} U_j \,|\, x_i(u)(t+1) \in X_i \text{ für } i=1,\ldots,n \} \tag{3.33} \end{equation*} } gebunden.    Jeder Spieler hat für sich das Bestreben, den Wert $a^t_i(u)$ zu minimieren. Dieser Wert hängt aber von allen Steuerungen $u_1, \ldots, u_n$ ab und kann daher nicht von dem $i$-ten Spieler allein festgelegt werden.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte der Quelle Krabs 1998 werden hierbei in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Der Verfasser der vorliegenden Arbeit erweckt durch geschickte Formulierung den Eindruck, als stamme die vorgestellte Modellierung aus seiner eigenen Feder, und dass Krabs (hier namentlich zwar erwähnt, jedoch nicht im Sinne eines Literaturverweises) nur die Formulierung "von Zeitpunkt zu Zeitpunkt gespielt" beigesteuert habe. Tatsächlich wird hier die Herkunft der Modellierung/Theorie zur Beschreibung der Auszahlung verschleiert. (4) Erneut benennt der Autor Funktionen um (hier: Funktionen $a^t_i$ aus der Quelle werden zu $v^t_i$ beim Autor), um deren Quelle zu verschleiern. Mehr noch, das gesamte Konzept wird ohne Zitation übernommen.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), Tombomba, Primzahl

[4.] Analyse:Wpi/Fragment 053 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 14:45:47 Lascana

Fragment, KomplettPlagiat, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Wpi, ZuSichten

Typus KomplettPlagiat

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 53, Zeilen: 1-22

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 90; 91, Zeilen: 90: 11 ff. (bis Seitenende); 91: 1

3.1.2 Hinreichende Bedingungen für die Lösbarkeit      des Kontrollproblems Zusätzlich zu den beiden Annahmen (3.1.9), verlangen wir nun, daß die zugehörige Lösung $\widehat{x} = (\hat{x}_1,\ldots,\widehat{x}_n) \in \prod^n_{j=1} X_j$ zugleich ein global attraktiver Fixpunkt des ungesteuerten Systems Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &\;x_i(t+1) = x_i(t) + f_i(x(t),\theta) \tag{3.1.16}\\ &\text{für } i=1,\ldots,n \text{ und } t \in \mathbb{N}_0 \end{align*} } ist, d.h. für jedes $i=1,\ldots,n$ und für jeden Anfangswert $x_{0i} \in \mathbb{R}^{l_i}$ und jede Lösung $x = x(t)$ von  [sic!] (3.1.16) mit $x_i(0) = x_{0i} \text{ für } i=1,\ldots,n$ gilt $\underset{t \rightarrow \infty}{\lim} x_{i}(t) = \widehat{x}_i \text{ für } i=1,\ldots,n.$ Für jedes $N \in \mathbb{N}_0$ bezeichnet man mit $S(N)$ die Menge aller Anfangswerte $x_{(0)} = (x_{01},\ldots,x_{0n}) \in \prod^n_{i=1} \mathbb{R}^{l_i},$ für die es Kontrollfunktionen gibt, die selbst  [sic!] (3.1.6) erfüllen, und für die die zugehörigen Lösungen $x_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{l_i}$ von  [sic!] (3.1.4) und  [sic!] (3.1.8) den folgenden Wert zum Zeitpunkt $t=N$ annehmen: $x_i(N) = \widehat{x}_i \text{ für } i=1,\ldots,n.$ Es sei nun Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \displaystyle S = \bigcup_{N \in \mathbb{N}_0} S(N) \tag{3.1.17} \end{equation*} } Offensichtlich gilt dann $\widehat{x} = (\widehat{x}_1,\ldots,\widehat{x}_n) \in S$.

[S. 90, 11 ff. (bis Seitenende)] 3.2.4 Hinreichende Bedingungen für die Lösbarkeit des Problems der Steuerbarkeit Über die Annahmen 1. und 2. von Abschnitt 3.2.1 hinaus machen wir noch die Annahme, daß $\displaystyle \hat{x} = (\hat{x}_1,\ldots,\hat{x}_n) \in \prod^n_{i=1} X_i$ ein lokal attraktiver Gleichgewichtszustand des ungesteuerten Systems Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad x_i(t+1) = x_i(t) + f_i(x(t),\theta), \;i=1,\ldots,n\;,\tag{3.50} \end{equation*} } mit $\theta = (\theta_{m_1},\ldots,\theta_{m_n})$ ist, d.h. eine Lösung von (3.30) derart, daß für jedes $i=1,\ldots,n$ eine Umgebung $V(\widehat{x}_i) \subseteq \mathbb{R}^{n_i}$ von $\widehat{x}_i$ existiert, so daß für jedes $x _{0i} \in V(\widehat{x}_i)$ und jede Lösung $x = x(t)$ von (3.50) mit $x_i(0) = x_{0i} \text{ für } i=1,\ldots,n$ gilt $\underset{t \rightarrow \infty}{\lim} x_{i}(t) = \widehat{x}_i \text{ für } i=1,\ldots,n\;.$ Für jedes $N \in \mathbb{N}_0$ sei $S(N)$ die Menge aller Anfangszustände $\displaystyle x_{0} = (x_{01},\ldots,x_{0n}) \in \prod^n_{i=1} \mathbb{R}^{n_i}$ derart, daß Steuerungsfunktionen $u_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i}$ mit (3.27) existieren, so daß für die zugehörigen Lösungen von (3.26), (3.29) gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad x_i(N) = \hat{x}_i \text{ für } i=1,\ldots,n\;. \end{equation*} } Weiter sei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \displaystyle S = \bigcup_{N \in \mathbb{N}_0} S(N)\;.\tag{3.51} \end{equation*} } [S. 91, 1] Offenbar ist $\hat{x} = (\hat{x}_1,\ldots,\hat{x}_n) \in S$.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Manche Teile werden etwas in der Reihenfolge umgestellt. (3) Die vorige Seite der betrachteten Arbeit (S. 52) weist Übereinstimmungen mit S. 83 der Quelle Krabs 1998 auf. Ab dem hier betrachteten Fragment folgt die Darstellung der Quelle Krabs 1998 ab S. 90 (Zusammenstellung von Versatzstücken).

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), HanneloreH, Primzahl

[5.] Analyse:Wpi/Fragment 054 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2018-07-26 15:40:15 Lascana

Fragment, Gesichtet, KeineWertung, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Wpi

Typus KeineWertung

Bearbeiter BaronMuenchhausen

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 54, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 91, Zeilen: 2-19

Satz 3.1.1 ([KP98]) Es sei $X_{i}=\mathbb {R} ^{l_{i}}{\text{ f}}{\ddot {u}}{\text{r }}i=1,\ldots ,n\qquad (3.1.18)$ und ${\widehat {x}}\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{l_{j}}$ sei ein global attraktiver Fixpunkt des ungesteuerten Systems (3.1.16). Weiterhin nehmen wir an, daß ${\widehat {x}}$ ein innerer Punkt der durch (3.1.17) definierten Menge $S$ ist. Dann besitzt das Kontrollproblem für jedes $x_{0}\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{l_{j}}$ eine Lösung. Beweis. Da ${\widehat {x}}$ ein innerer Punkt von $S$ ist, gibt es eine Umgebung $V({\widehat {x}})$ von ${\widehat {x}}$ mit $V({\widehat {x}})\subseteq S$. Da ferner ${\widehat {x}}$ ein global attraktiver Gleichgewichtspunkt von (3.1.16) ist, gilt: Für jeden Anfangswert $x_{0}\in \mathbb {R} ^{l_{j}}$ existiert ein $N_{1}\in \mathbb {N} _{0}$ derart, daß $x(N_{1})\in V({\widehat {x}})$ ist. Das bedeutet jedoch die Existenz einer Kontrollfunktion $u^{\ast }:\mathbb {N} _{0}\rightarrow \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\;{\text{mit}}\;u^{\ast }(t)\in \prod _{j=1}^{n}U_{j}{\text{ f}}{\ddot {u}}{\text{r alle }}t\in \mathbb {N} _{0}$ und einer endlichen Zeit $N_{2}\in \mathbb {N} _{0}$ derart, daß die Trajektorie $x^{\ast }=x^{\ast }(t)$ des Systems (3.1.4) für $u=u^{\ast }$ und $x^{\ast }(0)=x(N_{1})$ den Wert $x^{\ast }(N_{2})={\widehat {x}}$ zum Zeitpunkt $t=N_{2}$ annimmt . Definiert man nun eine Kontrollfunktion ${\overline {u}}:\mathbb {N} _{0}\rightarrow \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$ durch ${\overline {u}}(t)={\begin{cases}\theta =(\theta _{m1},\ldots ,\theta _{m_{n}})&{\text{, f}}{\ddot {u}}{\text{r }}t=0,\ldots ,N_{1}\\u^{\ast }(t-N_{1}-1)&{\text{, f}}{\ddot {u}}{\text{r }}t=N_{1}+1,\ldots ,N_{1}+N_{2}+1\\\theta =(\theta _{m1},\ldots ,\theta _{m_{n}})&{\text{, f}}{\ddot {u}}{\text{r }}t\geq N_{1}+N_{2}+2\end{cases}}$ dann nimmt die zugehörige Trajektorie ${\overline {x}}={\overline {x}}(t)$ des Systems (3.1.4) für $u={\overline {u}}$ und (3.1.8) zum Zeitpunkt $N=N_{1}+N_{2}+2$ den folgenden Wert an ${\overline {x}}(N)={\widehat {x}}\;.$ Damit ist der Beweis geführt. $\Box$

Satz 3.8: Sei $X_{i}=\mathbb {R} ^{n_{i}}{\text{ f}}{\ddot {u}}{\text{r }}i=1,\ldots ,n,\qquad \qquad (3.52)$ und sei ${\widehat {x}}=({\widehat {x}}_{1},\ldots ,{\widehat {x}}_{n})\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{n_{j}}$ ein attraktiver Gleichgewichtszustand von (3.50), der innerer Punkt der durch (3.51) definierten Steuerbarkeitsmenge $S$ ist. Dann ist das Problem für jedes $x_{0}\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{n_{j}}$ lösbar. Beweis: Da ${\widehat {x}}$ innerer Punkt von $S$ ist, gibt es eine Umgebung $V_{1}({\widehat {x}})$ mit $V_{1}({\widehat {x}})\subseteq S$. Da ${\widehat {x}}$ ein attraktiver Gleichgewichtszustand von (3.50) ist, gibt es für jedes $x_{0}\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{n_{j}}$ ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ derart, daß für die Lösung $x = x(t)$ von (3.50) mit $x(0)=x_{0}$ gilt $x(N_{1})\in V_{1}({\widehat {x}})$. Daraus folgt weiter die Existenz einer Steuerungsfunktion $u^{\ast }:\mathbb {N} _{0}\rightarrow \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$ mit $u^{\ast }(t)\in \prod _{j=1}^{n}U_{j}{\text{ f}}{\ddot {u}}{\text{r }}t\in \mathbb {N} _{0}$ und einer Zeit $N_{2}\in \mathbb {N} _{0}$ derart, daß für die zugehörige Lösung von (3.26) für $u=u^{\ast }$ und $x^{\ast }(0)=x(N_{1})$ gilt $x^{\ast }(N_{2})={\widehat {x}}$. Definiert man eine Steuerungsfunktion ${\widetilde {u}}:\mathbb {N} _{0}\rightarrow \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$ vermöge ${\widetilde {u}}(t)={\begin{cases}\theta =(\theta _{m1},\ldots ,\theta _{m_{n}})&{\text{ f}}{\ddot {u}}{\text{r }}t=0,\ldots ,N_{1},\\u^{\ast }(t-N_{1}-1)&{\text{ f}}{\ddot {u}}{\text{r }}t=N_{1}+1,\ldots ,N_{1}+N_{2}+1,\\\theta =(\theta _{m1},\ldots ,\theta _{m_{n}})&{\text{ f}}{\ddot {u}}{\text{r }}t\geq N_{1}+N_{2}+2,\end{cases}}$ so genügt die Lösung von (3.26) für $u={\widetilde {u}}$ und (3.29) der Bedingung $x(N)={\widehat {x}}$, wenn man $N=N_{1}+N_{2}+2$ setzt.

Anmerkungen (1) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Manche Teile werden etwas in der Reihenfolge umgestellt. (2) Es erfolgt ein Verweis auf [KP98]. Tatsächlich folgt die Darstellung dem Textfluss von Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Ebenso werden die Bezeichnungen und Fallunterscheidungen verwendet (3) Die Beweisführung ist komplett von Krabs 1998 übernommen und muss gesondert genannt werden, da es ansonsten den Anschein erweckt, dass die Beweisführung einer Eigenleistung entspringe. (4) Eine Verwendung von Satz 3.1.1. in der weiteren Arbeit ist nicht erkennbar. (5) Keine Wertung - wenngleich Bezeichnungen, Fallunterscheidungen, Parameterwahl - kurz alles - von Krabs 1998 stammen.

Sichter (BaronMuenchhausen); HanneloreH; Primzahl, Lascana

[6.] Analyse:Wpi/Fragment 055 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 16:16:00 Lascana

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Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 55, Zeilen: 1-27

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 86, Zeilen: 86: 1, 3-19

3.1.3 Eine schrittweise, nicht-kooperative       spieltheoretische Lösung Da es im allgemeinen nicht möglich sein wird, simultan alle Auszahlungsfunktionen $v^t_i$ zu minimieren, werden die Spieler eine Kompromißlösung anstreben, die sich durch ein Nash-Gleichgewicht ausdrücken läßt. Ein solches ist im ersten Kapitel ausführlich behandelt worden: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad v^t_i(u^t) \le v^t_i(u^t_1,\ldots,u^t_{i-1},u_i,u^t_{i+1},\ldots,u^t_n) \tag{3.1.19} \end{equation*} } $\text{für alle } u_i \text{ mit } (u^t_1,\ldots,u^t_{i-1},u_i,u^t_{i+1},\ldots,u^t_n) \in Z_t \text{ und } i=1,\ldots,n.$ Sei nun $u^t \in Z_t$ ein solches Nash-Gleichgewicht. Dann gilt es, folgende Fallunterscheidung zu treffen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\textbf{(a)} &\;&v^t_i(u^t) = 0 \text{ für alle } i=1,\ldots,n: \\ & &\;&\text{Dann ist notwendig}\\ & &\;&\qquad u^t_i = \theta_{m_i} \text{ und } x_i(u^t)(t+1) = \hat{x}_i \text{ für } i=1,\ldots,n.\\ & &\;&\text{Der gewünschte Fixpunkt ist somit für alle Akteure } i \text{ erreicht.}\\ & &\;&\text{Setzt man } N = t + 1 \text{ und definiert Steuerungsfunktionen } \\ & &\;&u_i: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i} \text{ bzw. Zustandsfunktionen } x_i: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{l_i} \text{ gemäß}\\ & &\;&\qquad u_i(s) = \begin{cases} u^t_i & \text{ für } s=0,\ldots,N-1\\ \theta_{mi} & \text{ für } s \ge N \end{cases}\\ & &\;&\qquad x_i(0) = x_{0i} \tag{3.1.20}\\ & &\;&\qquad x_i(s) = \begin{cases} x_i(u^{s-1})(s) & \text{ für } s=1,\ldots,N-1\\ \hat{x}_i & \text{ für } s \ge N \end{cases}\\ & &\;&\text{so erhält man eine <b>Lösung des Kontrollproblems</b>, das zugleich}\\ & &\;&\\ & &\;&\text{ein } \textbf{Nash-Gleichgewicht} \text{ ist.}\\ &\textbf{(b)} &\;&\text{Es gibt ein } i_t \in \{ 1,\ldots,n \} \text{ mit } v^t_{i_t}(u^t) > 0:\\ & &\;&\text{Dann setzt man}\\ & &\;&\qquad x_i(t+1) = x_i(u^t)(t+1) \text{ für } i=1,\ldots,n\\ & &\;&\text{und bestimmt ein } \textbf{Nash-Gleichgewicht} \text{ für } t + 1 \text{ anstelle von } t. \end{alignat*} }

[S. 86, 1] 3.2.3 Eine schrittweise, nicht-kooperative, spieltheoretische Lösung [S. 86, 3-19]    Wir nehmen wieder an, daß die Spieler nicht kooperieren und jeder versucht, seine Auszahlungsfunktion $a^t_i$ gemäß (3.32) zu minimieren. Das ist aber im allgemeinen nicht simultan möglich. Als Kompromißlösung wird daher ein sog. Nash-Gleichgewicht $u_t \in Z_t$ (3.33) angestrebt, für das gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad a^t_i(u_t) \le a^t_i(u_{t1},\ldots,u_{ti-1},u_i,u_{ti+1},\ldots,u_{tn}) \tag{3.42} \end{equation*} } $\text{für alle } (u_{t1},\ldots,u_{ti-1},u_i,u_{ti+1},\ldots,u_{tn}) \in Z_t \text{ und } i=1,\ldots,n \;.$ Fallunterscheidung: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\text{(a)} &\;&a_i(u_t) = 0 \text{ für alle } i=1,\ldots,n.\\ & &\;&\text{Dann ist notwendig}\\ & &\;&\qquad u_{ti} = \theta_{m_i} \text{ und } x_i(u_t)(t+1) = \hat{x}_i \text{ für } i=1,\ldots,n\;.\\ & &\;&\text{Setzt man } N = t + 1 \text{ und definiert Steuerungsfunktionen}\\ & &\;&u_i: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i} \text{ bzw. Zustandsfunktionen } x_i: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{n_i} \text{ für } i=1,\ldots,n \text{ gemäß }\\ & &\;&\text{(3.36) und (3.37), so erhält man eine Lösung des Problems der Steuerbarkeit.}\\ &\text{(b)} &\;&\text{Es gibt ein } i_t \in \{1,\ldots,n\} \text{ mit } a^t_{i_t} > 0.\\ & &\;&\text{Dann setzen wir}\\ & &\;&\qquad x_i(t+1) = x_i(u_t)(t+1) \text{ für } i=1,\ldots,n\\ & &\;&\text{und bestimmen ein Nash-Gleichgewicht für } t+1 \text{ anstelle von } t. \end{alignat*} }

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden hierbei in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Auf Seite 55 werden offensichtlich zwei sich ähnliche Beweise der Quelle Krabs 1998 vermischt. Bei der Fallunterscheidung verweist die Quelle Krabs 1998 auf die in (3.36) auf Seite 84 definierten Steuerungsfunktionen $u_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i}$ für $i=1,\ldots,n$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &u_i(t) = \begin{cases} u_{ti} & \text{ für } t=1,\ldots N-1\;,\tag{3.36}\\ \theta_{mi} & \text{ für } t \ge N \end{cases} \end{align*} } sowie die ebenfalls auf Seite 84 in (3.37) definierten Zustandsfunktion $x_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{n_i}$ für $i=1,\ldots,n$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &x_i(0) = x_{0i}, \\ &x_i(t) = \begin{cases} x_i(u_{t-1}(t)) & \text{ für } t=1,\ldots,N-1\;, \\ \hat{x}_i & \text{ für } t \ge N\;, \end{cases} \biggl.\biggr\} \tag{3.37} \end{align*} } welche exakt in der betrachteten Arbeit übernommen wurden.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH

[7.] Analyse:Wpi/Fragment 056 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-02-28 16:42:03 Lascana

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Typus KomplettPlagiat

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 56, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 86, 87, Zeilen: 86: 21 ff. (bis Seitenende); 87: 1-15

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\text{1.} &\;&\text{Alle Steuerungsmengen } U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i},\;(i = 1,\ldots,n) \text{ seien kompakt}\\ & &\;&\text{und konvex, und alle Mengen } X_i \subseteq \mathbb{R}^{l_i},\;(i = 1,\ldots,n) \text{ seien abgeschlossen und konvex.}\\ &\text{2.} &\;&\text{Die Menge } Z_t \text{  [sic!] (3.1.15) der zulässigen Steuerungen sei nichtleer.}\\ &\text{3.} &\;&\text{Alle Funktionen } u \rightarrow f_i(x(t),u),\;u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j},\;(i = 1,\ldots,n) \text{ seien affin-linear.} \end{alignat*} } Dann ergibt sich das folgende Lemma [sic!] Lemma 3.1.1 Für jedes $u^{\ast }\in Z_{t}$ und jedes $i=1,\ldots,n$ gibt es genau ein Vektor Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &T_i u^\ast) = (u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1}, (T_i u^\ast)_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n) \in Z_t \tag{3.1.21}\\ &\text{mit } v^t_i(T_i u^\ast) \le v^t_i(u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1},u_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n) \tag{3.1.22}\\ &\;\text{für alle } (u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1},u_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n) \in Z_t. \end{align*} } Beweis. Mit der Annahme (1) und (2) ergibt sich, daß die Menge Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &Z^{i\ast}_t = \{ u_i \in U_i \,|\, (u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1},u_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n) \in Z_t \} \tag{3.1.23}\\ &\text{für alle } i = 1,\ldots,n \text{ kompakt und konvex ist.} \end{align*} } Mithilfe der Annahme (3) und der speziellen quadratischen Form der Funktionen $v_{i}^{t}\;(i=1,\ldots ,n)$ in ( [sic!] 3.1.12) folgert man, daß die Funktion Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_i \mapsto v^t_i (u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1},u_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n), \; u_i \in \mathbb{R}^{m_i} \tag{3.1.24} \end{equation*} } strikt konvex ist. Da die einzelnen Funktionen $f_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ stetig sind, müssen definitionsgemäß die Funktionen in ( [sic!] 3.1.24) ebenfalls stetig sein, womit die Behauptung bewiesen ist. $\Box$ Lemma 3.1.2 Die durch  [sic!] (3.1.21) und  [sic!] (3.1.22) definierte Abbildung $T:=T_{n}\circ T_{n-1}\circ \ldots \circ T_{1}:Z_{t}\rightarrow Z_{t},$ mit $T_{i}:Z_{t}\rightarrow Z_{t},\;i\in \{1,\ldots ,n\}$, ist stetig. Beweis. Es sei $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $Z_{t}$ mit $u^{k}\rightarrow u^{\ast },\;k\rightarrow \infty$ für ein $u^{\ast }\in Z_{t}$. Dann gilt für jedes $k\in\mathbb{N}$ und jedes $i=1,\ldots,n$ $v_{i}^{t}(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},(T_{i}u^{k})_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})\leq v_{i}^{t}(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},u_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})$ (3.1.25) für alle $u_{i}\in Z_{t}^{i_{k}}$ wobei $Z_{t}^{i_{k}}:=\{u_{i}\in U_{i}\,|\,(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},u_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})\in Z_{t}\}$ ist.

[S. 86, 21 ff. (bis Seitenende)] Annahmen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\text{(1)}&\;&\text{Alle Mengen } U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i} \text{ seien kompakt und konvex,}\\ & &\;&\text{und alle Mengen } X_i \subseteq \mathbb{R}^{n_i} \text{ seien abgeschlossen und konvex für } i = 1,\ldots,n.\\ &\text{(2)}&\;&\text{Die Menge } Z_t \text{ (3.33) der zulässigen Steuerungen sei nichtleer.}\\ &\text{(3)}&\;&\text{Alle Funktionen } u \rightarrow f_i(x(t),u),\;u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_i} \text{, seien affin-linear für } i = 1,\ldots,n \text{, d.h. von der Form (3.38) für } x=x(t). \end{alignat*} } Folgerung 1 Für jedes $u^{\ast }\in Z_{t}$ und jedes $i=1,\ldots,n$ gibt es genau ein Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad T_i u^\ast = (u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1}, (T_i u^\ast)_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n) \in Z_t \tag{3.43} \end{equation*} } [S. 87, 1-15] mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &\;a^t_i(T_i u^\ast) \le a^t_i(u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1},u_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n) \tag{3.44}\\ &\text{für alle } (u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1},u_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n) \in Z_t\;. \end{align*} } Beweis. Auf Grund der Annahmen (1) und (2) ist die Menge Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad Z^{i\ast}_t = \{ u_i \in U_i \,|\, (u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1},u_i,u^\ast_{i+1},u^\ast_n) \in Z_t \} \tag{3.45} \end{equation*} } kompakt und konvex für jedes $i=1,\ldots,n$ und die Funktion $u_{i}\mapsto a_{i}^{t}(u_{1}^{\ast },\ldots ,u_{i-1}^{\ast },u_{i},u_{i+1}^{\ast },\ldots ,u_{n}^{\ast }),\;u_{i}\in \mathbb {R} ^{m_{i}},$ strikt konvex, woraus sich die Folgerung 1 ergibt. Folgerung 2: Die Abbildung $T:=T_{n}\circ T_{n-1}\circ \ldots \circ T_{1}:Z_{t}\rightarrow Z_{t}$ gemäß (3.43), (3.44) für $i=1,\ldots,n$ ist stetig. Beweis: Sei $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $Z_{t}$ mit $u^{k}\rightarrow u^{\ast }$ für ein $u^{\ast }\in Z_{t}$. Dann ist für jedes $k\in\mathbb{N}$ und jedes $i=1,\ldots,n$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &\;a^t_i(u^k_1,\ldots,u^k_{i-1},(T_i u^k)_i,u^k_{i+1},\ldots,u^k_n) \tag{3.46}\\ \le &\;a^t_i(u^k_1,\ldots,u^k_{i-1},u_i,u^k_{i+1},\ldots,u^k_n) \end{align*} } für alle $u_{i}\in Z_{t}^{i_{k}}$ (gemäß (3.45) für $u^{k}$ anstelle von $u^\ast$).

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Hier wird abermals der Eindruck erweckt, als stamme die Beweisführung vom Autor. Tatsächlich ist diese von der Quelle inhaltlich vollständig übernommen und frei von Eigenleistung. (4) Eine Verwendung von Lemma 3.1.1 und Lemma 3.1.2 in der weiteren Arbeit ist nicht erkennbar. Diese stehen somit nicht im Kontext der Arbeit.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH; Primzahl

[8.] Analyse:Wpi/Fragment 057 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 16:21:25 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Verschleierung, Wpi, ZuSichten

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 57, Zeilen: 3 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 87, 88, Zeilen: 87: 16 ff. (bis Seitenende); 88: 1-10

Weiter gilt für jedes  [sic!] $i=1,\ldots,n$: $v_{i}^{t}(u_{1}^{\ast },...,u_{i-1}^{\ast },(T_{i}u^{\ast })_{i},u_{i+1}^{\ast },\ldots ,u_{n}^{\ast })\leq v_{i}^{t}(u_{1}^{\ast },...,u_{i-1}^{\ast },u_{i},u_{i+1}^{\ast },\ldots ,u_{n}^{\ast })$ für alle $u_{i}\in Z_{t}^{i_{\ast }}$. Dadurch behält die Anwendung des Operators $T_i$, um ein Nash-Gleichgewicht zu bestimmen, ihre Gültigkeit, wenn wir anstelle eines Folgeglieds den Grenzwert der Folge wählen. Von diesem nahmen wir an, daß er existiere. Sei nun $i\in\{1,\ldots,n\}$ fest aber beliebig gewählt. Dann gibt es aus Kompaktheitsgründen eine Teilfolge $(u^{k_{l}})_{l\in \mathbb {N} }$ und ein ${\hat {u}}_{i}\in Z_{t}^{i\ast }$ mit ${\underset {l\rightarrow \infty }{\lim }}(T_{i}u^{k_{l}})_{i}={\hat {u}}_{i}.$ Mithilfe von  [sic!] (3.1.25) folgt somit $v_{i}^{t}(u_{1}^{\ast },...,u_{i-1}^{\ast },{\hat {u}}_{i},u_{i+1}^{\ast },\ldots ,u_{n}^{\ast })\leq v_{i}^{t}(u_{1}^{\ast },...,u_{i-1}^{\ast },u_{i},u_{i+1}^{\ast },\ldots ,u_{n}^{\ast })$ für alle $u_{i}\in Z_{t}^{i_{\ast }}$, woraus folgt ${\hat {u}}_{i}=(T_{i}u^{\ast })_{i}.$ Auf die gleiche Art und Weise zeigt man, daß zu jeder Teilfolge $(u^{k_{l}})_{l\in \mathbb {N} }$ eine Teilfolge $(u^{k_{l_{m}}})_{m\in \mathbb {N} }$ existiert mit ${\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}(T_{i}u^{k_{l_{m}}})_{i}=(T_{i}u^{\ast })_{i}\;.$ Damit gilt ${\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}(T_{i}u^{k})_{i}=(T_{i}u^{\ast })_{i}\;.$ Somit ist jedes $T_{i}:Z_{t}\rightarrow Z_{t}$ für $i=1,\ldots,n$ stetig und daher auch $T=T_{n}\circ T_{n-1}\circ \ldots \circ T_{1}:Z_{t}\rightarrow Z_{t}.$ $\Box$ Da $Z_{t}\subseteq \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$ konvex und kompakt ist, existiert nach dem Brouwerschen Fixpunktsatz ein Fixpunkt ${\hat {u}}^{t}\in Z_{t}$ von $T:Z_{t}\rightarrow Z_{t}$. Jeder solche Fixpunkt ${\hat {u}}^{t}\in Z_{t}$ ist aber ein Nash-Gleichgewicht, denn die Aussage $T{\hat {u}}^{t}={\hat {u}}^{t}$ ist mit der Definition (3.1.19) zu Beginn des Kapitels gleichwertig.

[S. 87, 16 ff. (bis Seitenende)] Weiter ist für jedes $i=1,\ldots,n$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &a^t_i(u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1},(T_i u^\ast)_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n)\\ \le &a^t_i(u^\ast_1,\ldots,u^\ast_{i-1},u_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n) \text{ für alle } u_i \in Z^{i\ast}_t \; . \end{align*} } Sei $i\in\{1,\ldots,n\}$ beliebig fest gewählt. Dann gibt es eine Teilfolge $(u^{k_{\ell }})_{\ell \in \mathbb {N} }$ und ein ${\hat {u}}_{i}\in Z_{t}^{i\ast }$ mit ${\underset {\ell \rightarrow \infty }{\lim }}(T_{i}u^{k_{\ell }})_{i}={\tilde {u}}_{i}\,.$ Aus (3.46) folgt somit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &a^t_i(u^\ast_1,...,u^\ast_{i-1},\tilde{u}_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n)\\ \le &a^t_i(u^\ast_1,...,u^\ast_{i-1},u_i,u^\ast_{i+1},\ldots,u^\ast_n) \text{ für alle } u_i \in Z^{i\ast}_t \; . \end{align*} } Daraus folgt weiter ${\hat {u}}_{i}=(T_{i}u^{\ast })_{i}$. [S. 88, 1-10]    Auf die gleiche Weise zeigt man, daß zu jeder Teilfolge $(u^{k_{\ell }})_{\ell \in \mathbb {N} }$ eine Teilfolge $(u^{k_{\ell _{m}}})_{m\in \mathbb {N} }$ existiert mit ${\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}(T_{i}u^{k_{\ell _{m}}})_{i}=(T_{i}u^{\ast })_{i}\;,$ woraus ${\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}(T_{i}u^{k})_{i}=(T_{i}u^{\ast })_{i}$ folgt. Damit ist jedes $T_{i}:Z_{t}\rightarrow Z_{t}$ für $i=1,\ldots,n$ stetig und daher auch $T=T_{n}\circ T_{n-1}\circ \ldots \circ T_{1}:Z_{t}\rightarrow Z_{t}.$    Da $\displaystyle Z_{t}\subseteq \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$ konvex und kompakt ist, gibt es nach dem Browerschen [sic!] Fixpunktsatz einen Fixpunkt $u_t \in Z_t$ von $T:Z_{t}\rightarrow Z_{t}$. Jeder solche Fixpunkt $u_t \in Z_t$ ist aber ein Nash-Gleichgewicht; denn $Tu_{t}=u_{t}$ ist mit (3.42) gleichwertig.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), HanneloreH

[9.] Analyse:Wpi/Fragment 059 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 16:28:26 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Unfertig, Verschleierung, Wpi

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 59, Zeilen: 1 f., 8 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 88, 89, Zeilen: 88: 12 ff. (bis Seitenende); 89: 1-3

[S. 59, 1 f.] Satz 3.1.3 Gelten die Annahmen (1), (2) und (3), so existiert ein Nash-Gleichgewicht. [S. 59, 8 ff. (bis Seitenende)] Generell ist jedoch noch nicht erwähnt, wie dieses Nash-Gleichgewicht zu finden ist. Hierzu bietet sich das folgende iterative Verfahren an: Man beginnt mit einem beliebigen $u^{0}$, das in der Menge $Z_{t}$ liegt. Anschließend definiert man rekursiv mithilfe von Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u^{k+1} = T u^k \tag{3.1.28} \end{equation*} } die Folge $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in Z_{t}$ wobei mit  [sic!] (3.1.21) und  [sic!] (3.1.22  [sic!] ) Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad T = T_n \circ T_{n-1} \circ \ldots \;[\text{sic!}]\; T_1 \tag{3.1.29} \end{equation*} } für $i=1,\ldots,n$ ist. Nun bestimmt man jeweils die i-te [sic!] Komponente und fährt sukzessive fort, indem man i modulo n erhöht. Da die Annahmen (1),(2) [sic!] und (3) gelten, kann man hinsichtlich der Konvergenz die beiden folgenden Sätze formulieren: Satz 3.1.4 Konvergiert die durch  [sic!] (3.1.28) definierte Folge $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ gegen ein $u^{t}\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}},$ dann gilt $u^t \in Z_t$ und $u^{t}$ ist ein Nash-Gleichgewicht. Beweis. Aus den Annahmen folgt, daß $Z_{t}$ abgeschlossen ist. Somit gilt $u^t \in Z_t$. Da $T$ stetig ist, gilt weiterhin $u^{t}=Tu^{t}$. $\Box$ Falls die Annahmen (1),(2) [sic!] und (3) nicht notwendigerweise erfüllt sind, muß man das durch  [sic!] (3.1.28) definierte Iterationsverfahren auf die folgende Art und Weise abändern: Man beginnt mit $k=0,\; i=1$ und einem $u^{k}\in Z_{t}$. Dann bestimmt man ein ${\hat {u}}_{i}\in Z_{t}^{i_{k}}=\{u_{i}\in U_{i}\,|\,(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},u_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})\in Z_{t}\;[{\text{sic:}}\}{\text{fehlt}}]$ derart, daß für alle $u_{i}\in Z_{t}^{i_{k}}$ gilt: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad v^t_i(u^k_1,\ldots,u^k_{i-1},\hat{u}_i,u^k_{i+1},\ldots,u^k_n) \le v^t_i(u^k_1,\ldots,u^k_{i-1},u_i,u^k_{i+1},\ldots,u^k_n) \tag{3.1.30} \end{equation*} } Anschliessend [sic!] setzt man Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u^{k+1} = (u^k_1,\ldots,u^k_{i-1},\hat{u}_i,u^k_{i+1},\ldots,u^k_n) \tag{3.1.31} \end{equation*} } und ersetzt $i$ durch $i+1$ modulo n .

[S. 88, 12 ff. (bis Seitenende)] Satz 3.5: Unter den obigen Annahmen (1), (2), (3) gibt es ein Nash-Gleichgewicht.    Zur Berechnung eines Nash-Gleichgewichtes bietet sich das folgende Iterationsverfahren an: Beginnend mit einem $u^{\circ }\in Z_{t}$ wird rekursiv eine Folge $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ in $Z_{t}$ definiert gemäß Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u^{k+1} = T u^k\;, \tag{3.47} \end{equation*} } wobei $T=T_{n}\circ T_{n-1}\circ \ldots \circ T_{1}$ ist mit $T_i$ gemäß (3.43), (3.44) für $i=1,\ldots,n$ Unter den obigen Annahmen (1), (2) und (3) gilt dann der Satz 3.6 Konvergiert die durch (3.47) definierte Folge $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ gegen ein $\displaystyle u_{t}\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$, so ist $u_t \in Z_t$ und zugleich ein Nash-Gleichgewicht. Beweis: $u_t \in Z_t$ folgt aus der Abgeschlossenheit von $Z_{t}$ und $u_{t}=Tu_{t}$ folgt aus der Stetigkeit von $T$ nach Folgerung 2.    Sind die Annahmen (1), (2) und (3) nicht notwendig erfüllt, so muß man das oben beschriebene Iterationsverfahren zur Berechnung eines Nash-Gleichgewichtes folgendermaßen durchführen: Beginnend mit $k=0,\; i=1$ und einem $u^{k}\in Z_{t}$ wird ein ${\hat {u}}_{i}\in Z_{t}^{ik}=\{u_{i}\in U_{i}\,|\,(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},u_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})\in Z_{t}\}$ bestimmt mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &a^t_i(u^k_1,\ldots,u^k_{i-1},\hat{u}_i,u^k_{i+1},\ldots,u^k_n)\\ \le &a^t_i(u^k_1,\ldots,u^k_{i-1},u_i,u^k_{i+1},\ldots,u^k_n) \text{ für alle } u_i \in Z^{ik}_t \tag{3.48} \end{align*} } [S. 89, 1-3] und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u^{k+1} = (u^k_1,\ldots,u^k_{i-1},\hat{u}_i,u^k_{i+1},\ldots,u^k_n) \tag{3.49} \end{equation*} } gesetzt sowie $i:=i+1{\text{ modulo }}n$.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in der Reihenfolge vertauscht. (3) Hier wird abermals der Eindruck erweckt, als stamme die Beweisführung vom Autor. Tatsächlich ist diese von der Quelle inhaltlich vollständig übernommen und frei von Eigenleistung. (4) Eine Verwendung von Satz 3.1.3 und Satz 3.1.4 in der weiteren Arbeit ist nicht erkennbar. Die Sätze und die zugehörigen Beweise stehen damit nicht im Kontext der betrachteten Arbeit.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH; Primzahl

[10.] Analyse:Wpi/Fragment 060 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 16:35:49 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Verschleierung, Wpi, ZuSichten

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 60, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 89, Zeilen: 4-19

Anstelle der Annahmen (1), (2) und (3) sollen nun die folgenden Annahmen gelten: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\text{(a)} &\;&\text{Die Mengen } U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i},\; i = 1 ,\ldots,n \text{, seien wiederum kompakt, die Mengen }\\ & &\;&\, X_i \subseteq \mathbb{R}^{l_i},\; i = 1 ,\ldots,n \text{ [sic!] abgeschlossen.}\\ &\text{(b)} &\;&\text{Für jedes } u = (u_1,\ldots,u_n) \in Z_t \text{ und jedes } \tilde{u} = (\tilde{u}_1,\ldots,\tilde{u}_n) \in Z_t \text{ gilt für alle } i = 1 ,\ldots,n: \\ & &\;&\qquad (\tilde{u}_1,\ldots,\tilde{u}_{i-1},u_i,\tilde{u}_{i+1},\ldots,\tilde{u}_n) \in Z_t\\ & &\;&\,\text{d.h. seien } \tilde{u} \text{ und } u \text{ zwei verschiedene } \textit{zulässige} \text{ Steuerungen, dann ist auch}\\ & &\;&\,\text{diejenige Steuerung, bei der die } i \text{-te Komponente durch ein Element des}\\ & &\;&\,\text{anderen Tupels ersetzt wurde, wiederum eine } \textit{zulässige} \text{ Steuerung.}\\ &\text{(b)} &\;&\text{Alle Funktionen } u \mapsto f_i(x(t),u),\; u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j},\; i = 1 ,\ldots,n \text{, sind stetig.} \end{alignat*} } Ist die Menge $Z_{t}$ nichtleer, dann garantieren die Annahmen (a) und (b), für alle  [sic!] $i\in\{1,\ldots,n\}$ und $k\in\mathbb{N}_0$, die Existenz eines ${\hat {u}}_{i}\in Z_{t}$ das [sic!] (3.1.30) erfüllt. Mithilfe der Annahmen (a), (b) und (c) ist es weiterhin möglich, den folgenden Satz zu beweisen. Satz 3.1.5 Konvergiert die durch  [sic!] (3.1.30) und  [sic!] (3.1.31) definierte Folge $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in Z_{t}$ gegen ein $u^{t}\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}},$ dann gilt $u^t \in Z_t$ und $u^{t}$ ist ein Nash-Gleichgewicht. Beweis.    Die Annahmen (a) und (c) beinhalten, daß $Z_{t}$ abgeschlossen und sogar kompakt ist. Somit gilt $u^t \in Z_t$. Wir wollen den Beweis indirekt führen und nehmen daher an, daß $u^{t}$ kein Nash-Gleichgewicht ist, d.h.  [sic!] (3.1.19) ist für ein $i\in\{1,\ldots,n\}$ verletzt. Dann gibt es ein ${\hat {u}}^{i}=(u_{1}^{t},\ldots ,u_{i-1}^{t},{\tilde {u}}_{i},u_{i+1}^{t},\ldots ,u_{n}^{t})\in Z_{t}$ mit $v_{i}^{t}({\hat {u}}^{i})<v_{i}^{t}(u^{t})$. Da $\displaystyle u\mapsto v_{i}^{t}(u),\;u\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$ stetig ist (dies folgt aus Annahme (c)), gilt weiterhin $v_{i}^{t}(u^{k})\rightarrow v_{i}^{t}(u^{t})\;(k\rightarrow \infty )$

Anstelle von (1), (2), (3) machen wir jetzt die folgenden Annahmen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\text{(a)} &\;&\text{Alle Mengen } U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i} \text{ seien kompakt, und alle Mengen}\\ & &\;&X_i \subseteq \mathbb{R}^{n_i} \text{ seien abgeschlossen für } i = 1,\ldots,n.\\ &\text{(b)} &\;&\text{Sind } u = (u_1,\ldots,u_n) \in Z_t \text{ und } \tilde{u} = (\tilde{u}_1,\ldots,\tilde{u}_n) \in Z_t \text{ beliebig vorgegeben, so ist für jedes }i = 1 ,\ldots,n \text{ auch}\\ & &\;&\qquad (\tilde{u}_1,\ldots,\tilde{u}_{i-1},u_i,\tilde{u}_{i+1},\ldots,\tilde{u}_n) \in Z_t\;.\\ &\text{(c)} &\;&\text{Alle Funktionen } u \rightarrow f_i(x(t),u),\; u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j} \text{ seien stetig für } i = 1 ,\ldots,n. \end{alignat*} }    Ist $Z_{t}$ nichtleer, so folgt aus den Annahmen (a) und (c) für jedes $i\in\{1,\ldots,n\}$ und $k\in\mathbb{N}_0$ die Existenz eines ${\hat {u}}_{i}\in Z_{t}$ mit (3.48). Weiter gilt unter den Annahmen (a), (b) und (c) der Satz 3.7: Konvergiert die gemäß (3.48), (3.49) konstruierte Folge $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} }$ in $Z_{t}$ gegen ein $\displaystyle u_{t}\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$, so ist $u_t \in Z_t$ und zugleich ein Nash-Gleichgewicht. Beweis: Aus den Annahmen (a) und (c) folgt, daß $Z_{t}$ abgeschlossen ist (sogar kompakt). Daraus folgt $u_t \in Z_t$. Wir machen jetzt die Annahme, (3.42) sei verletzt für ein $i\in\{1,\ldots,n\}$. Dann gibt es ein ${\hat {u}}^{i}=(u_{t1},\ldots ,u_{ti-1},{\tilde {u}}_{i},u_{ti+1},\ldots ,u_{tn})\in Z_{t}$ mit $a_{i}^{t}({\hat {u}}^{i})<a_{i}^{t}(u_{t})$. Da $\displaystyle u\rightarrow a_{i}^{t}(u),\;u\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$, ebenfalls stetig ist, gilt $a_{i}^{t}(u^{k})\rightarrow a_{i}^{t}(u_{t})$.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Hier wird abermals der Eindruck erweckt, als stamme die Beweisführung vom Autor. Tatsächlich ist diese von der Quelle inhaltlich vollständig übernommen und frei von Eigenleistung. (Weder die Quelle des Satzes noch die des Beweises sind erwähnt.) (4) Eine Verwendung von Satz 3.1.5 und des zugehörigen in der weiteren Arbeit ist nicht erkennbar. Satz und Beweis stehen somit nicht im Kontext der betrachteten Arbeit.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH; Primzahl

[11.] Analyse:Wpi/Fragment 061 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 16:41:22 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Unfertig, Verschleierung, Wpi

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 61, Zeilen: 1-17

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 89, 90, Zeilen: 89: 20 ff. (bis Seitenende); 90: 1-10

Setzt man $\delta ={\tfrac {1}{2}}[v_{i}^{t}(u^{t})-v_{i}^{t}({\hat {u}}^{i})]$, so gibt es aus Stetigkeitsgründen ferner eine Zahl $k_{1}(\delta )$, so daß $v_{i}^{t}(u^{k+1})>v_{i}^{t}({\hat {u}}^{i})+\delta {\text{ für alle }}k\geq k_{1}(\delta ){\text{ ist.}}$ Konstruiert man nun für alle $k\in\mathbb{N}$ die Tupel $({\hat {u}}^{k})^{i}=(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},{\tilde {u}}_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})\;,$ dann gilt ${\hat {u}}^{i}={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}({\hat {u}}^{k})^{i}$ und somit $v_{i}^{t}(({\hat {u}}^{k})^{i})<v_{i}^{t}({\hat {u}}^{i})+\delta <v_{i}^{t}({\hat {u}}^{k+1}){\text{ für alle }}k\geq k_{2}(\delta ).$ Hiermit sind  [sic!] (3.1.30) und  [sic!] (3.1.31) verletzt. Da wegen Annahme (b) für alle $k\in\mathbb{N}_0$ mit ${\hat {u}}^{i}=(u_{1}^{t},\ldots ,u_{i-1}^{t},{\tilde {u}}_{i},u_{i+1}^{t},\ldots ,u_{n}^{t})\in Z_{t}$ und $u^{k+1}=(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},{\hat {u}}_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})\in Z_{t}\;,$ gilt $({\hat {u}}^{k})^{i}=(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},{\tilde {u}}_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})\in Z_{t}.$ Die Annahme, $u^{t}$ sei kein Nash-Gleichgewicht, ist somit falsch. $\Box$

[S. 89, 20 ff. (bis Seitenende)] Daraus folgt für $\delta ={\tfrac {1}{2}}(a_{i}^{t}(u_{t})-a_{i}^{t}({\hat {u}}^{i}))$ $a_{i}^{t}(u^{k+1})>a_{i}^{t}({\hat {u}}^{i})+\delta {\text{ für alle }}k\geq k_{1}(\delta )\;.$ Setzt man für jedes $k\in\mathbb{N}$ $({\hat {u}}^{k})^{i}=(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},{\tilde {u}}_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})\;,$ so folgt ${\hat {u}}^{i}={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}({\hat {u}}^{k})^{i}$ [S. 90, 1-10] und somit $a_{i}^{t}(({\hat {u}}^{k})^{i})<a_{i}^{t}({\hat {u}}^{i})+\delta <a_{i}^{t}(u^{k+1}){\text{ für alle }}k\geq k_{2}(\delta ),$ ein Widerspruch gegen (3.48), (3.49), da wegen Annahme (b) für jedes $k\in\mathbb{N}_0$ mit ${\hat {u}}^{i}=(u_{t1},\ldots ,u_{ti-1},{\tilde {u}}_{i},u_{ti+1},\ldots ,u_{tn})\in Z_{t}$ und $u^{k+1}=(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},{\hat {u}}_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})\in Z_{t}$ auch $({\hat {u}}^{k})^{i}=(u_{1}^{k},\ldots ,u_{i-1}^{k},{\tilde {u}}_{i},u_{i+1}^{k},\ldots ,u_{n}^{k})$ zu $Z_{t}$ gehrt [sic!]. Damit ist die Annahme falsch und Satz 3.7 bewiesen.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH

[12.] Analyse:Wpi/Fragment 062 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 16:43:14 Lascana

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Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 62, 63, Zeilen: 62: 1-2, 14 ff. (bis Seitenende); 63: 1

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 83, Zeilen: 1-13

[S. 62, 1-2] 3.2 Eine schrittweise, kooperative      spieltheoretische Lösung [S. 62, 14 ff. (bis Seitenende)] Zu jedem Zeitpunkt $t \in \mathbb{N}_0$, seien wiederum die Vektoren $x_i(t) \in X_i \text{ für } i=1,\ldots,n$ gegeben. Für $t=0$ wählen wir wieder vorgegebene Anfangswerte, die wir mit $x_i(0) = x_{0i} \text{ für } i=1,\ldots,n$ bezeichnen wollen. Für sie gelte wiederum $x_{0i} \in X_i$. Jeder Steuerungsvektor $\displaystyle u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j}$ greift auf die folgende Art und Weise in unser dynamisches System ein: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad x_i(u)(t+1) := x_i(t) + f_i(x(t),u) \text{ für } i=1,\ldots,n\;, \tag{3.2.32} \end{equation*} } wobei $x(t) = (x_1(t),\ldots,x_n(t))$ ist, so daß wir unsere Zielfunktion für jeden Spieler wie folgt formulieren können: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad v^t_i(u) = \| x_i(u)(t+1)-\widehat{x}_i \|^2_2 + \| u_i \|^2_2 \text{ für } i=1,\ldots,n\;, \tag{3.2.33} \end{equation*} } wobei $\| \cdot \|_2$ die Euklidische Norm bezeichnet. Der Begriff Zielfunktion weist bereits darauf hin, daß auch im kooperativen Fall die einzelnen Funktionen $v_{i}^{t}:\prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ als Auszahlungsfunktionen des $i$-ten Spielers innerhalb einer Spielsituation angesehen werden können. Der Spieler $i$ verfügt über die Strategiemenge $U_i$. Indem er zu jedem Zeitpunkt einen Wert für seinen Steuerterm $u\in U_{i}$ wählt, versucht [S. 63, 1] er die Spielsituation steuernd zu beeinflusssen.

3.2.2 Eine schrittweise, kooperative, spieltheoretische Lösung Wir denken uns für ein $t \in \mathbb{N}_0$ Vektoren $x_i(t) \in X_i \text{ für } i=1,\ldots,n$ vorgegeben. Für $t=0$ wählen wir $x_i(0) = x_{0i} \text{ für } i=1,\ldots,n\;.$ Für jeden Vektor $\displaystyle u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j}$ definieren wir $x_{i}(u)(t+1)=x_{i}(t)+f_{i}(x(t),u){\text{ für }}i=1,\ldots ,n\;,$ wobei $x(t) = (x_1(t),\ldots,x_n(t))$, und damit Funktionen Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad a^t_i(u) = \| x_i(u)(t+1)-\hat{x}_i \|^2_2 + \| u_i \|^2_2 \text{ für } i=1,\ldots,n\;, \tag{3.32} \end{equation*} } wobei $\| \cdot \|_2$ die Euklidische Norm bezeichnet.    Für jedes $i=1,\ldots,n$ fassen wir die Funktion $\displaystyle a^t_i: \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j} \rightarrow \mathbb{R}_+$ als Auszahlungsfunktionen an den $i$-ten Spieler eines Spieles auf, bei dem der $i$-te Spieler über die Strategiemenge $U_i$ verfügt, mit der er das Spiel zu “steuern” versucht.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH

[13.] Analyse:Wpi/Fragment 063 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 16:45:29 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Verschleierung, Wpi, ZuSichten

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 63, Zeilen: 1-4; 6 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 83, 84, Zeilen: 83: 13 ff. (bis Seitenende); 84: 1-3

[S. 63, 1-4] Wesentlich ist, daß die Elemente der Menge Restriktionen unterliegen  [sic!] (3.1.15): Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad Z_t = \{ u \in \prod^n_{j=1} U_j \,|\, x_i(u)(t+1) \in X_i \text{ für alle } i=1,\ldots,n \} \tag{3.2.34} \end{equation*} } Steuerungen, die diese Bedingung erfüllen, wollen wir als zulässig bezeichnen. [S. 63, 6 ff. (bis Seitenende)] Da der Auszahlungswert des $i$-ten Spielers nicht nur von seinem Steuerungswert, sondern von allen anderen Steuerungen abhängig ist, wird es den einzelnen Spielern nicht gelingen, jeweils ihren eigenen Wert $v^t_i(u)$ zu minimieren. Im Gegensatz zum vorhergehenden Abschnitt, in dem als Kompromißlösung das Nash-Gleichgewicht untersucht wurde, werden nun die Spieler anstreben, die gemeinsame Auszahlungsfunktion Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \varphi_t(u) = \sum^n_{i=1} v^t_i(u),\; u \in Z_t, \tag{3.2.35} \end{equation*} } zu minimieren. Hierbei ist $v^t_i(u)$ für $i=1,\ldots,n$ nach  [sic!] (3.2.33) definiert und (3.2.35) drückt das kooperative Verhalten aus. Somit entsteht das folgende 3.2.1 Kontrollproblem für den kooperativen Fall Gesucht ist ein $u^t \in Z_t$ derart, daß Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \varphi_t(u^t) = \varphi_t(u) \text{ für alle } u \in Z_t \text{ gilt.} \tag{3.2.36} \end{equation*} } Der Index „t“ weist daraufhin, daß das Problem zu jedem Zeitpunkt schrittweise gelöst werden soll. Es sei $u^t \in Z_t$ eine Lösung des beschriebenen Problems. Nun ergibt sich eine Fallunterscheidung: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\textbf{(a)} &\;&\varphi_t(u^t) = 0 \;:\\ & &\;&\;\text{Da} \end{alignat*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad \varphi_t(u) &= \sum^n_{i=1} v^t_i(u)\\ &= \sum^n_{i=1} [\| x_i(u)(t+1)-\hat{x}_i \|^2_2 + \|\; u_i \;\|^2_2] \tag{3.2.37} \end{align*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\;\text{ist, gilt notwendig zum Zeitpunkt } t\\ & &\;&\qquad u^t_i = \theta_{m_i} \text{ und } x_i(u^t)(t+1) = \widehat{x}_i \text{ für } i=1,\ldots,n. \end{alignat*} }

[S. 83, 13 ff. (bis Seitenende)] Dabei sind aber die Spieler an die Menge der zulässigen Steuerungen Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad Z_t = \{ u \in \prod^n_{j=1} U_j \,|\, x_i(u)(t+1) \in X_i \text{ für } i=1,\ldots,n \} \tag{3.33} \end{equation*} } gebunden.    Jeder Spieler hat für sich das Bestreben, den Wert $a^t_i(u)$ zu minimieren. Dieser Wert hängt aber von allen Steuerungen $u_1, \ldots, u_n$ ab und kann daher nicht von dem $i$-ten Spieler allein festgelegt werden.    Wir nehmen jetzt an, daß alle Spieler kooperieren und versuchen, die gemeinsame Auszahlungsfunktion Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \varphi_t(u) = \sum^n_{i=1} a^t_i(u),\; u \in Z_t, \tag{3.34} \end{equation*} } mit $a^t_i(u)$ nach (3.32) zu minimieren. Damit erhalten wir das Problem: Gesucht ist ein $u_t \in Z_t$ derart, daß gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \varphi_t(u_t) \le \varphi_t(u) \text{ für alle } u \in Z_t. \tag{3.35} \end{equation*} } Ist $u_t \in Z_t$ eine Lösung dieses Problems, so ergibt sich die Fallunterscheidung: [S. 84, 1-3] Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\text{(a)} &\;&\varphi_t(u_t) = 0.\\ & &\;&\text{Dann ist notwendig} \end{alignat*} } $u_{ti}=\theta _{m_{i}}{\text{ und }}x_{i}(u_{t})(t+1)={\hat {x}}_{i}{\text{ für }}i=1,\ldots ,n\;.$

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Dieses Fragment ist eine Fortsetzung von Seite 62 der betrachteten Arbeit.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH

[14.] Analyse:Wpi/Fragment 064 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 16:49:48 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Verschleierung, Wpi, ZuSichten

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 64, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 84, Zeilen: 4-25

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\;&\;&\text{Setzt man nun }  [sic!] N=t+1  [sic!] \text{ und definiert Steuerungsfunktionen } u_i:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i}\\ &\quad\;&\;&\text{für }  [sic!]\; i=1,\ldots,n  [sic!] \text{ durch} \end{alignat*} } $u_{i}(s)={\begin{cases}u_{i}^{s}&{\text{ für }}s=0,\ldots ,N-1,\\\theta _{m_{i}}&{\text{ für }}s\geq N,\end{cases}}$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\;&\;&\;\;\text{und Zustandsfunktionen } x_i:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{l_i} \text{ für } i=1,\ldots,n \text{ durch} \end{alignat*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} x_i(0) &= x_{0i},\\ x_i(s) &= \begin{cases} x_i(u^{s-1})(s) &\text{ für } s=1,\ldots,N-1,\\ \widehat{x}_i &\text{ für } s \ge N, \end{cases} \end{align*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{so hat man eine Lösung des Kontrollproblems gewonnen. Nun kann aber}\\ &\quad\; &\;&\text{auch das soeben bestimmte }  [sic!]\; u^t  [sic!]\text{ dazu führen, daß }  [sic!]\; \varphi_t(u^t) > 0  [sic!] \text{ ist, was im}\\ &\quad\; &\;&\text{zweiten Fall betrachtet werden soll.}\\ &\quad\; &\;&\text{}\\ &\textbf{(b)}&\;&\varphi_t(u^t) > 0\;:\\ &\quad\; &\;&\;\text{Dann berechnet man}\\ \end{alignat*} } $x_{i}(t+1)=x_{i}(u^{t})(t+1){\text{ für }}i=1,\ldots ,n$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\;\text{und löst das Problem  [sic!]  (3.2.36) mit } t + 1 \text{ anstelle von } t \;. \end{alignat*} } Das kooperative Verhalten der Spieler drückt sich in dem folgenden Satz aus: Satz 3.2.1 Jede Lösung $u^t \in Z_t$ des Problems (3.2.36) ist ein Pareto-Optimum. Somit folgt für jedes  [sic!]\;$u \in Z_t$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad v^t_i(u) \le v^t_i(u^t) \textit{ für alle } i=1,\ldots,n \tag{3.2.28} \end{equation*} } notwendigerweise Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad v^t_i(u) = v^t_i(u^t) \textit{ für alle } i=1,\ldots,n. \tag{3.2.29} \end{equation*} } Der Beweis ist identisch mit der Beweisführung des entsprechenden Satzes im ersten Kapitel. Aus Gründen der Übersichtlichkeit war nur dort noch nicht von einem allgemeinen dynamischen System die Rede. Abschließend soll sich einem Spezialfall zugewandt werden:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{Setzt man } N=t+1 \text{ und definiert Steuerungsfunktionen } u_i:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i} \text{ für } i=1,\ldots,n \text{ durch} \end{alignat*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_i(t) = \begin{cases} u_{ti} &\text{ für } t=0,\ldots,N-1\;, \\ \theta_{m_i} &\text{ für } t \ge N \end{cases} \tag{3.36} \end{equation*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{sowie Zustandsfunktionen } x_i:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{n_i} \text{ für } i=1,\ldots,n \text{ durch}\\ \end{alignat*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad x_i(0) &= x_{0i},\\ x_i(t) &= \begin{cases} x_i(u_{t-1}(t)) &\text{ für } t=1,\ldots,N-1\;,\\ \qquad\quad\;\hat{x}_i &\text{ für } t \ge N\;, \end{cases} \biggl.\biggr\} \tag{3.37} \end{align*} } Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{so hat man eine Lösung des Problems der Steuerbarkeit gewonnen.}\\ &\text{(b)} &\;&\varphi_t(u_t) > 0.\\ &\quad\; &\;&\text{Dann setzen wir}\\ \end{alignat*} } $x_{i}(t+1)=x_{i}(u_{t})(t+1){\text{ für }}i=1,\ldots ,n$ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\quad\; &\;&\text{und lösen das Problem (3.35) mit } t + 1 \text{ anstelle } t. \end{alignat*} } Ein Ausdruck für die Kooperation der Spieler ist der folgende Satz 3.4: Jede Lösung $u_t \in Z_t$ des Problems (3.35) ist ein sog. Pareto-Optimum, d.h., für jedes $u \in Z_t$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad a^t_i(u) \le a^t_i(u_t) \text{ für alle } i=1,\ldots,n\;, \end{equation*} } folgt notwendig Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad a^t_i(u) = a^t_i(u_t) \text{ für alle } i=1,\ldots,n\;. \end{equation*} } Der Beweis dieses Satzes ist der gleiche wie der von Satz 3.1. Das gleiche gilt für seine inhaltliche Interpretation. Ein Spezialfall:

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Eine Verwendung von Satz 3.2.1 in der weiteren Arbeit ist nicht erkennbar. Dieser Satz steht somit nicht im Kontext der betrachteten Arbeit.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH

[15.] Analyse:Wpi/Fragment 065 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 14:31:41 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Verschleierung, Wpi, ZuSichten

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 65, Zeilen: 1-12, 15 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 84, 85, Zeilen: 84: 25 ff. (bis Seitenende); 85: 1-15

[S. 65, 1-12] 3.2.2 Ein anwendungsbezogener Spezialfall Die rechte Seite von  [sic!] (3.1.4) soll nun die folgende Gestalt besitzen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &\qquad\qquad f_i(x,u) = f_{0i}(x) + \sum^n_{j=1} f_{ij}(x)u_j \tag{3.2.40}\\ &\text{mit } x \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{l_i},\; u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j} \text{ für } i=1,\ldots,n. \end{align*} } Wir wollen weiterhin annehmen, daß die Mengen $U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i}$ für $i=1,\ldots,n$ konvex und kompakt sind und die Mengen $X_i \subseteq \mathbb{R}^{l_i}$ für $i=1,\ldots,n$ konvex und abgeschlossen. Unter diesen Bedingungen ist die Menge der zulässigen Steuerungen (3.2.34) $Z_t = \{ u \in \prod^n_{j=1} U_j \,|\, x_i(u)(t+1) \in X_i \text{ für alle } i=1,\ldots,n \}$ konvex und kompakt; o.B.d.A. sei angenommen, daß sie nichtleer ist. Für die Auszahlungsfunktion  [sic!] (3.2.35), die dann strikt konvex und daher auch stetig ist [...] [S. 65, 15 ff. (bis Seitenende)] Falls nun $Z_{t}$ nichtleer ist, dann gibt es für jedes $t \in \mathbb{N}_0$ genau ein $\widetilde{u}^t \in Z_t \;$, [sic!] das  [sic!] (3.2.36) erfüllt. Dies ist z.B. der Fall, wenn  [sic!] (3.1.18) zutrifft, da dann Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad Z_t = \prod^n_{j=1} U_j \tag{3.2.41} \end{equation*} } für alle $t \in \mathbb{N}_0$ nichtleer ist. Abschließend soll nun auch für den kooperativen Fall ein iteratives Verfahren angegeben werden: Dazu definieren wir für jeden Zeitpunkt $t \in \mathbb{N}_0$ und jedes $u \in Z_t$ $\nabla \varphi_t(u) = (\nabla_1 \varphi_t(u)^T,\ldots,\nabla_n \varphi_t(u)^T)^T$ wobei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \nabla_s \varphi_t(u) = \biggl( \frac{\partial \varphi_t}{\partial u_{s1}}(u),\ldots, \frac{\partial \varphi_t}{\partial u_{s m_s}}(u) \biggr)^T \;(s=1,\ldots,n) \tag{3.2.42} \end{equation*} }

[S. 84, 25 ff. (bis Seitenende)] Ein Spezialfall: Wir nehmen an, die Funktionen auf der rechten Seite von (3.26) seien von der Form Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad &\qquad f_i(x,u) = f_{0i}(x) + \sum^n_{j=1} f_{ij}(x)u_j\;, \tag{3.38}\\ &x \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{n_j},\; u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j} \text{ für } i=1,\ldots,n\;. \end{align*} } [S. 85, 1-15] Weiterhin nehmen wir an, die Mengen $U_i \subseteq \mathbb{R}^{m_i}$ für $i=1,\ldots,n$ seien konvex und kompakt, und die Mengen $X_i \subseteq \mathbb{R}^{n_i}$ für $i=1,\ldots,n$ seien konvex und abgeschlossen.    Dann ist für jedes $t \in \mathbb{N}_0$ die durch (3.33) definierte Menge $Z_{t}$ der zulässige [sic!] Steuerungen konvex und kompakt, falls sie nichtleer ist. Weiter ist die durch (3.34) definierte gemeinsame Auszahlungsfunktion $\displaystyle \varphi_t: \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j} \rightarrow \mathbb{R}_+$ für jedes $t \in \mathbb{N}_0$ strikt konvex (und somit stetig).    Daraus folgt für jedes $t \in \mathbb{N}_0$ die Existenz eines $u_t \in Z_t$ mit (3.35), falls $Z_{t}$ nichtleer ist. Das ist z.B. der Fall, wenn gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad X_i =\mathbb{R}^{n_i} \text{ für } i=1,\ldots,n\;; \tag{3.39} \end{equation*} } denn dann ist $\displaystyle Z_t = \prod^n_{j=1} U_j$ für alle $t \in \mathbb{N}_0$. Definiert man für jedes $t \in \mathbb{N}_0$ $\nabla \varphi_t(u_t) = (\nabla_1 \varphi_t(u_t)^T,\ldots,\nabla_n \varphi_n(u_t)^T)^T\;,$ wobei $\nabla_s \varphi_t(u_t) = \biggl( \frac{\partial \varphi_t}{\partial u_{s1}}(u_t),\ldots, \frac{\partial \varphi_t}{\partial u_{s m_s}}(u_t) \biggr)^T \text{ für } s=1,\ldots,n$

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH; Primzahl

[16.] Analyse:Wpi/Fragment 066 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 20:00:53 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Unfertig, Verschleierung, Wpi

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 66, Zeilen: 66: 1-16, 19-23, 28

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 85, 97, 99, Zeilen: 85: 16 ff. (bis Seitenende); 97: 21-27; 99: 6-11

[S. 66, 1-16] und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} &\frac{\partial \varphi_t}{\partial u_{sr}} (u)= \\ &2 \biggl\{ \sum^n_{i=1} \sum^{n_i}_{l=1} \biggl( \sum^n_{j=1} \sum^{m_j}_{k=1} (f_{ij}(x(t)))_{lk} u_{jk} + f_{0i}(x(t)) + x_{il}(t) - \widehat{x}_{il} \biggr) (f_{ij}(x(t)))_{sr} + u_{sr} \biggr\} \end{align*} } für $r=1,\ldots ,m_{s}$ und $s=1,\ldots ,n$ ist. Es ist wohlbekannt, daß das in  [sic!] (3.2.36) formulierte Problem äquivalent zu der folgenden Problemstellung ist Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \langle \nabla \varphi_t(u^t), u - u^t \rangle \ge 0 \text{ für alle } u \in Z_t \tag{3.2.43} \end{equation*} } wobei $\langle\cdot , \cdot\rangle$ das Skalarprodukt auf $\displaystyle \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}$ darstellt. Es sei nun wieder $Z_{t}$ von der Gestalt (3.2.34). Für $U_{j}=\{u_{j}\in \mathbb {R} ^{m_{j}}\,|\,\|u_{j}\|_{2}\leq K_{j}\},\;j=1,\ldots ,n$ und vorgegebene $K_{j}>0$ ist dann die Bedingung  [sic!] (3.2.43) äquivalent zu Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad - \sum^n_{s=1} \nabla_s \varphi_t(u^t)^T u^t_{s} \ge - \sum^n_{s=1} K_s \| \;\nabla_s \varphi_t(u^t)\; \|_2 \tag{3.2.44} \end{equation*} } wobei $\nabla _{s}$ durch  [sic!] (3.2.42) definiert ist und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u^t_{s} = \begin{cases} \frac{K_s}{\| \nabla_s \varphi_t(u^t) \|_2} \nabla_s \varphi_t(u^t) & \text{, falls } \nabla_s \varphi_t(u^t) \ne \theta_{m_s},\\ \theta_{m_s} & \text{, falls } \nabla_s \varphi_t(u^t) = \theta_{m_s}, \end{cases} \tag{3.2.45} \end{equation*} } für $s=1,\ldots ,n$ ist. [S. 66, 19-23] Diese Darstellung von $u^{t}$ bietet sich nun unmittelbar für einen Algorithmus an: Betrachten wir dazu unser System  [sic!] (2.1.15) und  [sic!] (2.1.14) mit der Steuerung $u_i$, was zu der folgenden Darstellung führt: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad E_i(t+1) &= E_i(t) + \sum^n_{j=1} em_{ij} [M_j(t) + u_j(t) ] \tag{3.2.46}\\ M_i(t+1) &= M_i(t) - \lambda_i M_i(t) [M^\ast_i - M_i(t)] \ast E_i(t) \tag{3.2.47} \end{align*} } [S. 66, 28] Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \sum^n_{i=1} v^t_i(u) = \sum^3_{i=1} [E_i(u)(t+1) - \hat{E}_i]^2 + M^2_i(u)(t+2)+u^2_i \rightarrow \text{min} \tag{3.2.48} \end{equation*} }

[S. 85, 16 ff. (bis Seitenende)] und ${\frac {\partial \varphi _{t}}{\partial u_{sr}}}(u)=2\{\sum _{i=1}^{n}\sum _{\ell =1}^{n_{i}}(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{m_{j}}a_{\ell k}^{ij}(t)u_{jk}+f_{0i\ell }(x(t))+x_{i\ell }(t)-{\hat {x}}_{i\ell })\,a_{sr}^{ij}(t)+u_{sr}\}$ mit $a_{\ell k}^{ij}(t)=(f_{ij}(x(t)))_{\ell k}{\text{ für }}\ell =1,\ldots ,n_{i}\;,\,k=1,\ldots ,m_{j}\;,$ so ist (3.35) gleichbedeutend mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \langle \nabla \varphi_t(u_t), u - u^t \rangle \ge 0 \text{ für alle } u \in Z_t\;, \tag{3.40} \end{equation*} } wobei gilt $\langle \nabla \varphi _{t}(u_{t}),v\rangle =\sum _{s=1}^{n}\nabla _{s}\varphi _{t}(u_{t})^{T}v_{s}{\text{ für }}v\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\;.$ Speziell für $U_{j}=\{u_{j}\in \mathbb {R} ^{m_{j}}\,|\,\|u_{j}\|_{2}\leq M_{j}\},\;j=1,\ldots ,n\;,$ mit vorgegebenen Zahlen $M_{j}>0$ erweist sich (3.40) als gleichwertig zu $-\sum _{s=1}^{n}\nabla _{s}\varphi _{t}(u_{t})^{T}u_{is}\geq -\sum _{s=1}^{n}M_{s}\|\nabla _{s}\varphi _{t}(u_{t})\|_{2}\;,$ was erfüllt ist, wenn Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_{ts} = \begin{cases} \frac{M_s}{\| \nabla_s \varphi_t(u_t) \|_2} \nabla_s \varphi_t(u_t) & \text{, falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) \ne \theta_{m_s}\;,\\ \theta_{m_s} & \text{, falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) = \theta_{m_s}\;, \end{cases} \biggl.\biggr\} \tag{3.41} \end{equation*} } ist. [S. 97, 21-27]    Daher denken wir uns die Dynamik (3.53) gesteuert mit dem Zweck, das Ziel (3.56) mit (3.57) für alle $t \ge N$ und ein passendes $N \in \mathbb{N}_0$ zu erreichen. Die Steuerung denken wir uns über die Kosten auf folgende Weise Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad S_i(t+1) &= S_i(t) + \sum^n_{j=1} sc_{ij} ( C_j(t) + u_j(t) )\\ C_i(t+1) &= C_i(t) - k_i C_i(t) (C^\ast_i - C_i(t)) \tag{3.58}\\ &\times (S_i(t) + \tau_i \sum^n_{j=1} sc_{ij}(C_j(t) + u_j(t))) \end{align*} } für $i=1,\ldots,n$ und $t \in \mathbb{N}_0$. [S. 99, 6-11] Im kooperativen Fall haben wir dann für jedes $t \in \mathbb{N}_0$ die Funktion $\varphi _{t}(u)=\sum _{i=1}^{n}(S_{i}(u)(t+1)-{\hat {S}}_{i})^{2}+C_{i}(u)(t+2)^{2}+u_{i}^{2})\;,$ $u=(u_{1},\ldots ,u_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ unter den Nebenbedingungen $0\leq C_{i}(u)(t+2)\leq Cast_{i}{\text{ für }}i=1,\ldots ,n$ zu minimieren.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Hier wird das zentrale Modell der Arbeit beschrieben. Der Vergleich mit der Quelle Krabs 1998 zeigt, dass es sich lediglich um eine Vereinfachung eines bereits bekannten Modells handelt. Hierbei wird der Term $\tau _{i}\sum _{j=1}^{n}sc_{ij}(C_{j}(t)+u_{j}(t))$ ignoriert. (4) Die Summe der Auszahlungsfunktionen wird aus der Quelle Krabs 1998 übernommen. Es ist ein Tippfehler enthalten. Entsprechend der Quelle Krabs 1998 sollte $M_{i}(u)(t+2)^{2}$ an Stelle von $M_{i}^{2}(u)(t+2)$ verwendet werden. (5) Abermals wurden geringfügige Bezeichnungsänderungen der unterliegenden Funktionen vorgenommen, das gesamte Konzept aber ohne Nennung der Quelle übernommen, z.B. Quelle Krabs 1998: $u_{is}\vert M$, Betrachtete Arbeit: $u_{s}^{t}\vert K$

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), HanneloreH, Primzahl

[17.] Analyse:Wpi/Fragment 067 08 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 17:34:56 Lascana

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Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 67, Zeilen: 8-11	Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 85, Zeilen: 29-30
Nach (3.2.45) erhält man mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad gr(u) = \begin{cases} \frac{K_s}{\Vert \nabla_s \varphi_t(u) \Vert_2} \nabla_s \varphi_t(u) & \text{, falls } \nabla_s \varphi_t(u) \ne \theta_{m_s},\\ \theta_{m_s} & \text{, falls } \nabla_s \varphi_t(u) = \theta_{m_s}, \end{cases} \tag{3.2.49} \end{equation*} } [...]	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_{ts} = \begin{cases} \frac{M_s}{\Vert \nabla_s \varphi_t(u_t) \Vert_2} \nabla_s \varphi_t(u_t) & \text{, falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) \ne \theta_{m_s},\\ \theta_{m_s} & \text{, falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) = \theta_{m_s}, \end{cases} \tag{3.41)} \end{equation*} }

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), Primzahl

[18.] Analyse:Wpi/Fragment 072 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 17:36:48 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Verschleierung, Wpi, ZuSichten

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 72, Zeilen: 1-6

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 98, Zeilen: 18-24

[...] Wir betrachten jetzt das veränderte gesteuerte System: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad E_i(t+1) &= E_i(t) + \sum^n_{j=1} em_{ij} [M_j(t)+u_j(t)] \tag{3.2.50}\\ M_i(t+1) &= M_i(t) - \lambda_i M_i(t)[M^\ast_i - M_i(t)] \ast E_i(t) + u_i(t) \tag{3.2.51} \end{align*} } Damit erhalten wir für das Zielfunktional: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} v_i(u) = &[E_i(t) + \sum^n_{j=1} em_{ij} (M_j(t)+u_j(t)) - \hat{E}_i]^2 + u_i(t)^2 +\\ &[M_i(t) - \lambda_i M_i(t)(M^\ast_i - M_i(t)) E_i(t) + u_i(t)]^2 \end{align*} }

Für $n$ Zahlen $u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {R}$ definieren wir dann Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad S_i(u_1,\ldots,u_n)(t+1) &= S_i(t) + \sum^n_{j=1} sc_{ij} (C_j(t)+u_j)\;,\\ C_i(u_1,\ldots,u_n)(t+1) &= C_i(t) - k_i C_i(t) (C^\ast_i - C_i(t)) \tag{3.60}\\ &\times \; (S_i(t) + \tau_i \sum^n_{j=1} sc_{ij} (C_j(t)+u_j) \text{ [sic!]} \end{align*} } für $i=1\ldots ,n$ und $i\in \mathbb {N} _{0}$. Die durch (3.32) definierte Auszahlungsfunktion für die $i$-te Nation lautet jetzt $a_{i}^{t}(u)=(S_{i}(u)(t+1)-{\hat {S}}_{i})^{2}+C_{i}(u)(t+1)^{2}+u_{i}^{2}$

Anmerkungen (1) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (2) Das in der betrachteten Arbeit angegebene "Zielfunktional" entspricht der in Krabs 1998 angegebenen "Auszahlungsfunktion", wobei der in Krabs 1998 enthaltene Term $\displaystyle \tau _{i}\sum _{j=1}^{n}sc_{ij}(C_{j}(t)+u_{j})$ ignoriert wird. Somit ist das betrachtete gesteuerte System lediglich eine starke Vereinfachung des bereits in Krabs 1998 behandelten Modells.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH

[19.] Analyse:Wpi/Fragment 076 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 18:21:23 Lascana

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Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 76, 77, Zeilen: 76: 1 ff. (bis Seitenende); 77: 1

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 91, 92, Zeilen: 91: 20 ff. (bis Seitenende); 92: 1-21

[S. 76, 1 ff. (bis Seitenende)] 3.2.3 Ein Approximationsproblem Abschließend wollen wir nochmals die Voraussetzungen des Satzes 3.1.1 betrachten. Wir nehmen an, daß wiederum  [sic!] (3.1.18) gilt. Es soll nun das folgende Problem betrachtet werden: Gesucht werden Kontrollfunktionen $u_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i}$ mit $u_{i}(t)\in U_{i}$ für alle $t = 0,\ldots,N-1$ und $i=1,\ldots,n$, die unter den Bedingungen $x_{i}(t+1)=x_{i}(t)+f_{i}(x(t),u(t)),\;t=0,\ldots ,N-1{\text{ und }}x_{i}(0)=x_{0i}$ für $i=1,\ldots,n$ den Funktionswert Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \varphi_N(u) = \sum^n_{i=1} ( \| x_i(N) - \widehat{x}_i \|^2_2 + \| u_i(N-1)\;\text{[sic!]}\|^2_2) \tag{3.2.52} \end{equation*} } so klein wie möglich machen. Falls das allgemeine Kontrollproblem eine Lösung besitzt, gibt es ein $N \in \N$, so daß für jede Lösung des obigen Problems notwendigerweise folgt $u_{i}(N-1)=\theta _{m_{i}}{\text{ und }}x_{i}(N)={\widehat {x}}_{i}{\text{ für }}i=1,\ldots ,n\;.$ Indem man somit das obige Problem  [sic!] (3.2.52) löst, erhält man gleichzeitig eine Lösung des in  [sic!] (3.1.10) formulierten allgemeinen Kontrollproblems. Für die Lösung von  [sic!] (3.2.52) bietet sich das folgende iterative Verfahren an: Man wählt eine Kontrollfunktion $u_{i}^{0}:\mathbb {N} _{0}\rightarrow \mathbb {R} ^{m_{i}}$ mit $u_{i}^{0}(t)\in U_{i}{\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ und }}i=1,\ldots ,n$ ${\text{(beispielsweise }}u_{i}^{0}(t)=\theta _{m_{i}}{\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ und }}i=1,\ldots ,n)$ aus und berechnet dann sukzessive $x_{i}^{0}(t+1)=x_{i}^{0}(t)+f_{i}(x^{0}(t),u^{0}(t))$ für $t = 0,\ldots,N-1$ mit $x_{i}^{0}(t)=x_{0i}$ für $i=1,\ldots,n$. Dann bildet man die Folgen $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}{\text{ in }}{\biggl \{}u:\{0,\ldots ,N-1\}\rightarrow \prod _{j=1}^{n}U_{j}{\biggr \}}$ und $(x^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}{\text{ in }}{\biggl \{}x:\{0,\ldots ,N\}\rightarrow \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{l_{j}}{\biggr \}}$ [S. 77, 1] auf die folgende Art und Weise:

[S. 91, 20 ff. (bis Seitenende)] 3.2.5 Ein Approximationsproblem zur näherungsweisen Lösung des Problems der Steuerbarkeit Wir nehmen wieder an, daß die Bedingung (3.52) erfüllt ist, und geben uns ein $N \in \N$ vor. Problem: Gesucht sind Steuerungsfunktionen $u_i : \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}^{m_i}$ mit $u_{i}(t)\in U_{i}{\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ und }}i=1,\ldots ,n$ [S. 92, 1-21] derart, daß unter den Bedingungen $x_{i}(t+1)=x_{i}(t)+f_{i}(x(t),u(t)),\;t=0,\ldots ,N-1$ und $x_{i}(0)=x_{0i}$ für $i=1,\ldots,n$ der Funktionswert $\varphi _{N}(u)=\sum _{i=1}^{n}(\|x_{i}(N)-{\hat {x}}_{i}\|_{2}^{2}+\|u_{i}(N-1)\|_{2}^{2})$ minimal ausfällt.    Besitzt das Problem der Steuerbarkeit eine Lösung, so gibt es ein $N \in \N$ derart, daß für jede Lösung des obigen Problems notwendig gilt $u_{i}(N-1)=\theta _{m_{i}}{\text{ und }}x_{i}(N)={\hat {x}}_{i}{\text{ für }}i=1,\ldots ,n\;,$ d.h., daß man auch eine Lösung des Problems der Steuerbarkeit erhält, wenn man das obige Problem löst. Dies geschieht iterativ folgendermaßen: Wir wählen $u_{i}^{0}(t)=\theta _{m_{i}}{\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ und }}i=1,\ldots ,n$ und berechnen $x_{i}^{0}(t+1)=x_{i}^{0}(t)+f_{i}(x^{0}(t),\theta ){\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1\;,$ wobei $x_{i}^{0}(0)=x_{0i}{\text{ für }}i=1,\ldots ,n\;.$ Damit konstruieren wir eine Folge $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ in $\displaystyle \{u:\{0,\ldots ,N-1\}\rightarrow \prod _{i=1}^{n}U_{i}\}$ und eine Folge $(x^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ in $\displaystyle \{x:\{0,\ldots ,N\}\rightarrow \prod _{i=1}^{n}\mathbb {R} ^{n_{i}}\}$ auf die folgende Weise:

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Die in der betrachteten Arbeit verwendete Notation der Folgen $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ und $(x^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ ist sehr ungewöhnlich und ihre Übereinstimmung mit der Quelle Krabs 1998 ist daher besonders auffällig: $(u^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}{\text{ in }}{\biggl \{}u:\{0,\ldots ,N-1\}\rightarrow \prod _{j=1}^{n}U_{j}{\biggr \}}$ und $(x^{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}{\text{ in }}{\biggl \{}x:\{0,\ldots ,N\}\rightarrow \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{l_{j}}{\biggr \}}$

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), HanneloreH

[20.] Analyse:Wpi/Fragment 077 02 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 18:23:26 Lascana

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Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 77, Zeilen: 2-9

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 92, Zeilen: 92: 21 ff. (bis Seitenende); 93: 1-3

Sind $u^{k}$ und $x^k$ für ein $k\in\mathbb{N}_0$ bestimmt, dann sucht man geeignete $u_{i}^{k+1}(t)\in U_{i}{\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ und }}i=1,\ldots ,n\;,$ die die Bedingungen ${\tilde {x}}^{k+1}(t+1)={\tilde {x}}^{k+1}(t)+f(x^{k}(t),u^{k+1}(t)){\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1$ und ${\widetilde {x}}^{k+1}(0)=x_{0}$ erfüllen und die Zielfunktion minimieren Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \displaystyle \qquad \varphi^k_N(u^{k+1}) = \sum^n_{i=1} (\| \widetilde{x}^{k+1}_i(N) - \hat{x}_i \|^2_2 + \| u^{k+1}_i(N-1) \|^2_2) \tag{3.2.53} \end{equation*} }

[S. 92, 21 ff. (bis Seitenende)] Sind $u^{k}$ und $x^k$ für $k\in\mathbb{N}_0$ gegeben, so bestimmen wir $u_{i}^{k+1}(t)\in U_{i}{\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ und }}i=1,\ldots ,n\;$ so, daß unter den Bedingungen ${\tilde {x}}^{k+1}(t+1)={\tilde {x}}^{k}(t)+f(x^{k}(t),u^{k+1}(t)){\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1$ und ${\tilde {x}}^{k+1}(0)=x_{0}$ [S. 93, 1-3] der Funktionswert $\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})=\sum _{i=1}^{n}(\|{\tilde {x}}_{i}^{k+1}(N)-{\hat {x}}_{i}\|_{2}^{2}+\|u_{i}^{k+1}(N-1)\|_{2}^{2})$ minimal ist.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), HanneloreH

[21.] Analyse:Wpi/Fragment 078 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 06:58:46 Lascana

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Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 78, Zeilen: 1-7

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 93, Zeilen: 5-10

Nun formulieren wir die Zielfunktion in (3.2.53) vermöge der diskreten Dynamik von ${\widetilde {x}}^{k+1}(t)$ weiter um. Wir erhalten dann die folgende Darstellung $\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})=\sum _{i=1}^{n}(\|\sum _{t=0}^{N-1}f_{i}(x^{k}(t),u^{k+1}(t))+x_{0i}-{\hat {x}}_{i}\|_{2}^{2}+\|u_{i}^{k+1}(N-1)\|_{2}^{2})$ $(3.2.54)$ [...] Sind nun $u^{k+1}(t)$ vollständig bestimmt für $t = 0,\ldots,N-1$, berechnet man $x^{k+1}(t+1)=x^{k+1}(t)+f(x^{k+1}(t),u^{k+1}(t))$ ${\text{für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ wobei }}x^{k+1}(0)=x_{0}.$

und somit $\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})=\sum _{i=1}^{n}(\|\sum _{t=0}^{N-1}f_{i}(x^{k}(t),u^{k+1}(t))+x_{0i}-{\hat {x}}_{i}\|_{2}^{2}+\|u_{i}^{k+1}(N-1)\|_{2}^{2}).$ Hat man $u^{k+1}(t)$ für $t = 0,\ldots,N-1$ ermittelt, so berechnet man $x^{k+1}(t)$ für $t=0,\ldots,N$ vermöge $x^{k+1}(t+1)=x^{k+1}(t)+f(x^{k+1}(t),u^{k+1}(t))$ ${\text{für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ wobei }}x^{k+1}(0)=x_{0}.$

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH

[22.] Analyse:Wpi/Fragment 079 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 18:51:12 Lascana

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Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 79, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 93, 94, Zeilen: 93: 11 ff. (bis Seitenende); 94: 1-8

Wir machen nun die folgende Annahme: Alle Funktionen $f_{i}:\prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{l_{j}}\times \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\rightarrow \mathbb {R} ^{l_{i}},\;i=1,\ldots ,n$ sind stetig. Dann kann man den folgenden Satz beweisen: Satz 3.2.2 Existiert für jedes $t\in \{0,\ldots ,N-1\}$, eine Funktion $u(t)\in \prod _{j=1}^{n}U_{j}{\textit {mit}}u(t)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}u^{k}(t),$ dann ist $u_{i}(t)$ für $t = 0,\ldots,N-1$ und $i=1,\ldots,n$ eine Lösung des Problems  [sic!](3.2.52). Beweis. Für $t=0$ folgt aus $x^{k+1}(1)=x_{0}+f(x_{0},u^{k+1}(0)),$ daß der Grenzwert $x(1)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}x^{k+1}(1)=x_{0}+f(x_{0},u(0))$ existiert. Wir nehmen nun an, daß für ein $t\in \{1,\ldots ,N-1\}$ der Grenzwert $x(t)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}x^{k+1}(t)=x(t-1)+f(x(t-1),u(t-1))$ existiert. Dann folgt mit $x^{k+1}(t+1)=x^{k+1}(t)+f(x^{k+1}(t),u^{k+1}(t)),$ daß auch der Grenzwert $x(t+1)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}x^{k+1}(t+1)=x(t)+f(x(t),u(t))$ existiert. Mit vollständiger Induktion zeigt man nun, daß $x(t+1)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}x^{k+1}(t+1)$ gilt und durch $x(t+1)=x(t)+f(x(t),u(t))$ für jedes $t\in \{0,\ldots ,N-1\}$ gegeben ist.

[S. 93, 11 ff. (bis Seitenende)] Annahme: Alle Funktionen $\displaystyle f_{i}:\prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{n_{j}}\times \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n_{i}}$ seien stetig für $i=1,\ldots,n$. Dann gilt der Satz 3.9: Gibt es für jedes $t\in \{0,\ldots ,N-1\}$ ein $\displaystyle u(t)\in \prod _{i=1}^{n}U_{i}$ mit $u(t)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}u^{k}(t)\;,$ so sind $u_{i}(t)$ für $t = 0,\ldots,N-1$ und $i=1,\ldots,n$ Lösungen des Ausgangsproblems. Beweis: Für $t=0$ folgt aus $x^{k+1}(1)=x_{0}+f(x_{0},u^{k+1}(0))$ die Existenz von $x(1)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}x^{k+1}(1)=x_{0}+f(x_{0},u(0)).$ Nun sei für ein $t\in \{1,\ldots ,N-1\}$ $x(t)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}x^{k+1}(t)=x(t-1)+f(x(t-1),u(t-1)).$ [S. 94, 1-8] Dann folgt aus $x^{k+1}(t+1)=x^{k+1}(t)+f(x^{k+1}(t),u^{k+1}(t))$ die Existenz von $x(t+1)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}x^{k+1}(t+1)=x(t)+f(x(t),u(t))\;.$ Aus dem Induktionsprinzip ergibt sich daher für jedes $t\in \{0,\ldots ,N-1\}$ die Existenz von $x(t+1)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}x^{k+1}(t+1)$ und $x(t+1)=x(t)+f(x(t),u(t))\;.$

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Eine Verwendung von Satz 3.2.2 und des zugehörigen Beweises in der weiteren Arbeit ist nicht erkennbar. Satz und Beweis stehen somit nicht im Kontext der betrachteten Arbeit.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH; Primzahl

[23.] Analyse:Wpi/Fragment 080 03 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 18:36:33 Lascana

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Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 80, Zeilen: 3 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 85, 95, Zeilen: 85: 9-11, 24-26; 95: 9-20

gilt nun ${\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}{\widetilde {x}}^{k+1}(N)=x_{0}+\sum _{i=0}^{N-1}f(x(t),u(t))=x(N)$ und somit ${\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})=\varphi _{N}(u)\;.$ Es sei nun $\displaystyle {\widetilde {u}}:\{0,\ldots ,N-1\}\rightarrow \prod _{j=1}^{n}U_{j}$ fest, aber beliebig gewählt. Dann folgt $\displaystyle {\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}\varphi _{N}^{k}({\widetilde {u}})=\varphi _{N}({\widetilde {u}})$. Weiterhin gilt dann für jedes $k\in \mathbb {N} _{0}\;$, $\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})\leq \varphi _{N}^{k}({\tilde {u}})$ und somit $\varphi _{N}(u)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})\leq {\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}\varphi _{N}^{k}({\tilde {u}})=\varphi _{N}({\tilde {u}})\;.$ Damit ist gezeigt, daß $u_{i}(t)$ für $t = 0,\ldots,N-1$ und $i=1,\ldots,n$ das in  [sic!] (3.2.52) beschriebene Problem löst. $\Box$ Wir betrachten nun den folgenden Spezialfall: Die Funktionen $f_{i}:\prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{l_{j}}\times \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\rightarrow \mathbb {R} ^{l_{i}}{\text{ f}}{\ddot {u}}{\text{r }}i=1,\ldots ,n$ sind wieder von der Form  [sic!] (3.2.40) und die Mengen $U_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{m_{j}}$, $j=1,\ldots ,n$, werden durch die folgende Zuordnung $U_{j}=\{u_{j}\in \mathbb {R} ^{m_{j}}\,|\,\|u_{j}\|_{2}^{2}\leq K_{j}\}$ bestimmt, wobei die einzelnen  [sic!] $M_{j}>0$ sind. Wir definieren nun Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad Z_N = \prod^{N-1}_{t=0} Z_t = ( \prod^n_{j=1} U_j )^N. \tag{3.2.55} \end{equation*} }

[S. 95, 9-20] Daraus folgt ${\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}{\widetilde {x}}^{k+1}(N)=x_{0}+\sum _{t=0}^{N-1}f(x(t),u(t))=x(N)$ und somit ${\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})=\varphi _{N}(u)\;.$ Nun sei $\displaystyle {\tilde {u}}:\{0,\ldots ,N-1\}\rightarrow \prod _{i=1}^{n}U_{i}$ beliebig vorgegeben. Dann folgt ebenfalls ${\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}\varphi _{N}^{k}({\widetilde {u}})=\varphi _{N}({\widetilde {u}})\;.$ Weiter ist für jedes $k\in\mathbb{N}_0$ $\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})\leq \varphi _{N}^{k}({\widetilde {u}})$ und somit $\varphi _{N}(u)={\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})\leq {\underset {k\rightarrow \infty }{\lim }}\varphi _{N}^{k}({\widetilde {u}})=\varphi _{N}({\widetilde {u}})\;,$ was zeigt, daß $u_{i}(t)$ für $t = 0,\ldots,N-1$ und $i=1,\ldots,n$ Lösungen des obigen Problems sind. [S. 85, 24-26] Speziell für $U_{j}=\{u_{j}\in \mathbb {R} ^{m_{j}}\,|\,\|u_{j}\|_{2}\leq M_{j}\},\;j=1,\ldots ,n\;,$ mit vorgegebenen Zahlen $M_{j}>0$ [...] [S. 85, 9-11] Das ist z.B. der Fall, wenn gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad X_i = \mathbb{R}^{n_i} \text{ für } i=1,\ldots,n\;;\;[sic!] \tag{3.39} \end{equation*} } denn dann ist $\displaystyle Z_t = \prod^n_{j=1} U_j$ für alle $t \in \mathbb{N}_0$.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht. (3) Seite 80 ff. (ab Zeile 15) besteht aus verschiedenen Versatzstücken der Quelle Krabs 1998, die teilweise bereits in anderen Fragmenten verwendet wurden. (4) Auffällig ist die Verwechslung von "$K_j$" mit "$M_j$" bei der Zuordnung von $U_j$. Die betrachtete Arbeit gibt zunächst an: "$U_{j}=\{u_{j}\in \mathbb {R} ^{m_{j}}\,|\,\|u_{j}\|_{2}^{2}\leq K_{j}\}$". In der folgenden Zeile heißt es "wobei die einzelnen $M_{j}>0$ sind". Hier folgt die betrachtete Arbeit dem Text der Quelle Krabs 1998 ("mit vorgegebenen Zahlen $M_{j}>0$").

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), HanneloreH

[24.] Analyse:Wpi/Fragment 081 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 19:36:07 Lascana

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Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 81, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 84, 85, 94, Zeilen: 84: 18-22; 85: 7 ff. (bis Seitenende); 94: 9-17

Ist $u^{k+1}\in Z_{N}$, dann ist die Aussage Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \varphi^k_N(u^{k+1}) \le \varphi^k_N(u) \text{ für alle } u \in Z_N \tag{3.2.56} \end{equation*} } äquivalent zu Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \langle \nabla \varphi^k_N(u^{k+1}), u - u^{k+1} \rangle \ge 0 \text{ für alle } u \in Z_N\;, \tag{3.2.57} \end{equation*} } wobei $\langle\cdot , \cdot\rangle$ das Skalarprodukt auf $\displaystyle (\;\prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\;)^{N}$ und $\nabla \varphi _{N}^{k}(u)=(\nabla _{10}\varphi _{N}^{k}(u)^{T},\ldots ,\nabla _{n0}\varphi _{N}^{k}(u)^{T},\ldots ,\nabla _{1\,N-1}\varphi _{N}^{k}(u)^{T},\ldots ,\nabla _{n\,N-1}\varphi _{N}^{k}(u)^{T})^{T}$ mit $\nabla _{st}\varphi _{N}^{k}(u)={\bigg (}{\frac {\partial \varphi _{N}^{k}}{\partial u_{s\,1}}}(u),\ldots ,{\frac {\partial \varphi _{N}^{k}}{\partial u_{s\,m_{s}}}}(u){\bigg )}^{T}$, $\displaystyle u\in (\;\prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\;)^{N}$, für $s=1,\ldots ,n$ und $t = 0,\ldots,N-1$ ist. Mit der Definition des Skalarproduktes $\langle\cdot , \cdot\rangle$ in $\displaystyle (\prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}})^{N}$ folgt unmittelbar, daß  [sic!] (3.2.57) äquivalent zu dem folgenden Problem ist $\sum _{s=1}^{n}\sum _{t=0}^{N-1}\langle \nabla _{st}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1}),u_{s}(t)-u_{s}^{k+1}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{m_{s}}}\geq 0$ für alle $u\in Z_{N}$ [sic!] wobei $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} ^{m_{s}}}$ das Skalarprodukt auf $\mathbb {R} ^{m_{s}}$ für $s=1,\ldots ,n$ ist. Diese Darstellung ist wiederum gleichwertig mit (siehe  [sic!] (3.2.44)) $-\sum _{s=1}^{n}\sum _{t=0}^{N-1}\langle \nabla _{st}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1}),u_{s}^{k+1}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{m_{s}}}\geq -\sum _{s=1}^{n}\sum _{t=0}^{N-1}K_{s}\|\nabla _{st}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})\|_{2}$ Diese Forderung ist erfüllt für $u_{s}^{k+1}(t)={\begin{cases}{\frac {K_{s}}{\|\nabla _{st}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})\|_{2}}}\nabla _{st}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})&{\text{, falls }}\nabla _{st}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})\neq \theta _{m_{s}}\\\theta _{m_{s}}&{\text{, falls }}\nabla _{st}\varphi _{N}^{k}(u^{k+1})=\theta _{m_{s}}\end{cases}}$ für $s=1,\ldots ,n$ und $t = 0,\ldots,N-1$. Mithilfe dieser gewonnenen Darstellung ist es nun wieder möglich, einen Algorithmus für die Bestimmung der $u^{k+1}$ anzugeben. Es sei nun $u^{N}\in Z_{N}$ (siehe (3.2.55)) eine Lösung unseres Approximationsproblems für ein $N \in \N$. Dann berechnen wir $x^{N}(t+1)=x^{N}(t)+f(x^{N}(t),u^{N}(t))$ ${\text{für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ mit }}x^{N}(0)=x_{0}.$

[S. 84, 18-22] Satz 3.4 Jede Lösung $u_t \in Z_t$ des Problems (3.35) ist ein sog. Pareto-Optimum, d.h., für jedes $u \in Z_t$ mit $a_{i}^{t}(u)\leq a_{i}^{t}(u_{t}){\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$ folgt notwendig $a_{i}^{t}(u)=a_{i}^{t}(u_{t}){\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n.$ [S. 85, 7 ff. (bis Seitenende)]    Daraus folgt für jedes $t \in \mathbb{N}_0$ die Existenz eines $u_t \in Z_t$ mit (3.35), falls $Z_{t}$ nichtleer ist. Das ist z.B. der Fall, wenn gilt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad X_i =\mathbb{R}^{n_i} \text{ für } i=1,\ldots,n\;; \tag{3.39} \end{equation*} } denn dann ist $\displaystyle Z_t = \prod^n_{j=1} U_j$ für alle $t \in \mathbb{N}_0$. Definiert man für jedes $t \in \mathbb{N}_0$ $\nabla \varphi_t(u_t) = (\nabla_1 \varphi_t(u_t)^T,\ldots,\nabla_n \varphi_n(u_t)^T)^T\;,$ wobei $\nabla_s \varphi_t(u_t) = \biggl( \frac{\partial \varphi_t}{\partial u_{s1}}(u_t),\ldots, \frac{\partial \varphi_t}{\partial u_{s m_s}}(u_t) \biggr)^T \text{ für } s=1,\ldots,n$ und ${\frac {\partial \varphi _{t}}{\partial u_{sr}}}=2\{\sum _{i=1}^{n}\sum _{\ell =1}^{n_{i}}(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{m_{j}}a_{\ell k}^{ij}(t)u_{jk}+f_{0i\ell }(x(t))+x_{i\ell }(t)-{\hat {x}}_{i\ell })\,a_{sr}^{ij}(t)+u_{sr}\}$ mit $a_{\ell k}^{ij}(t)=(f_{ij}(x(t)))_{\ell k}{\text{ für }}\ell =1,\ldots ,n_{i}\;,\;k=1,\ldots ,m_{j}\;,$ so ist (3.35) gleichbedeutend mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad \langle \nabla \varphi_t(u_t), u - u_t \rangle \ge 0 \text{ für alle } u \in Z_t\;, \tag{3.40} \end{equation*} } wobei gilt $\langle \nabla \varphi _{t}(u_{t}),v\rangle =\sum _{s=1}^{n}\nabla _{s}\varphi _{t}(u_{t})^{T}v_{s}{\text{ für }}v\in \prod _{j=1}^{n}\mathbb {R} ^{m_{j}}\;.$ Speziell für $U_{j}=\{u_{j}\in \mathbb {R} ^{m_{j}}\,|\,\|u\|_{2}\leq M_{j}\},\;j=1,\ldots ,n\;,$ mit vorgegebenen Zahlen $M_{j}>0$ erweist sich (3.40) als gleichwertig zu $-\sum _{s=1}^{n}\nabla _{s}\varphi _{t}(u_{t})^{T}u_{is}\geq -\sum _{s=1}^{n}M_{s}\|\nabla _{s}\varphi _{t}(u_{t})\|_{2}\;,$ was erfüllt ist, wenn Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad u_{is} = \begin{cases} \frac{M_s}{\| \nabla_s \varphi_t(u_t) \|_2} \nabla_s \varphi_t(u_t), & \text{ falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) \ne \theta_{m_s},\\ \qquad\qquad\qquad\quad \theta_{m_s}, & \text{ falls } \nabla_s \varphi_t(u_t) = \theta_{m_s}, \end{cases} \biggl.\biggr\} \tag{3.41} \end{equation*} } ist. [S. 94, 9-17] Seien $u_{i}^{N}:\mathbb {N} _{0}\rightarrow \mathbb {R} ^{m_{i}}$ Steuerungsfunktionen mit $u_{i}^{N}(t)\in U_{i}{\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1{\text{ und }}i=1,\ldots ,n$ derart, daß unter den Bedingungen $x_{i}^{N}(t+1)=x_{i}^{N}(t)+f_{i}(x^{N}(t),u^{N}(t)),\;t=0,\ldots ,N-1$ und $x_{i}^{N}(0)=x_{0i}$ für $i=1,\ldots,n$ der Funktionswert $\varphi _{N}(u^{N})=\sum _{i=1}^{n}(\|x_{i}^{N}(N)-{\hat {x}}_{i}\|_{2}^{2}+\|u^{N}(N-1)\|_{2}^{2})$ minimal ausfällt.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Versatzstück aus Fragment_065_01 und Fragment_066_01.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH

[25.] Analyse:Wpi/Fragment 082 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-03-01 19:50:06 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Verschleierung, Wpi, ZuSichten

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 82, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 94, 95, Zeilen: 94: 18 ff. (bis Seitenende); 95: 1-8

Für jeden Kontrollvektor $\displaystyle u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j}$ definieren wir den Zustandsvektor $x(u)(N+1)=x^{N}(N)+f(x^{N}(N),u)$ und bestimmen $\displaystyle u_{N}\in \prod _{j=1}^{n}U_{j}$ derart, daß $\varphi _{N+1}(u_{N})\leq \varphi _{N+1}(u){\text{ für alle }}u\in \prod _{j=1}^{n}U_{j}{\text{ gilt}}$ und $\varphi _{N+1}(u)=\sum _{j=1}^{n}(\|x_{i}(u)(N+1)-{\hat {x}}_{i}\|_{2}^{2}+\|u_{i}\|_{2}^{2}){\text{ für }}u\in \prod _{j=1}^{n}U_{j}{\text{ ist.}}$ Nachdem $u_N$ gefunden worden ist, bestimmt man nun $u^{0}(t)=u^{N}(t){\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1,\;u^{0}(N)=u_{N}^{0}$ und $x^{0}(t)=x^{N}(t){\text{ für }}t=0,\ldots ,N-1,\;x^{0}(N+1)=x(u_{N})(N+1)$ und fährt sukzessive mit der Iteration fort. Man löst das Approximationsproblem für den nächsten Zeitschritt $t=N+1$ anstelle von $t=N$. Für den Fall $N = 1$ entspricht das Approximationsproblem dem zu lösenden schrittweisem [sic!] Algorithmus zum Zeitschritt $t=0$. Falls das Kontrollproblem lösbar ist für ein $N \in \N$, dann garantiert somit die Kombination der beiden Methoden, daß das kleinstmögliche $N \in \mathbb{N}_0$ gefunden wird, d.h. man steuert den Fixpunkt in minimaler Zeit an. Dies war die Ausgangsfragestellung dieses gesamten Kapitels.

[S. 94, 18 ff. (bis Seitenende)] Für jedes $\displaystyle u \in \prod^n_{j=1} \mathbb{R}^{m_j}$ definieren wir dann $x_{i}(u)(N+1)=x_{i}^{N}(N)+f(x^{N}(N),u){\text{ für }}i=1,\ldots ,n$ und bestimmen $\displaystyle u_{N}\in \prod _{j=1}^{n}U_{j}$ so, daß gilt $\varphi _{N+1}(u_{N})\leq \varphi _{N+1}(u){\text{ für alle }}u\in \prod _{j=1}^{n}U_{j},$ wobei $\varphi _{N+1}(u)=\sum _{i=1}^{n}(\|x_{i}(u)(N+1)-{\hat {x}}_{i}\|_{2}^{2}+\|u_{i}\|_{2}^{2})$ [S. 95, 1-8] ist. Danach definieren wir Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} u^0(t) &= u^N(T) \text{ für } t=0,\ldots,N-1\;,\; u^0(N) = u_n \text{ und}\\ x^0(T) &= x^N(t) \text{ für } t=0,\ldots,N\;,\; x^0(N+1) = x(u_n)(N+1) \end{align*} } und führen das oben beschriebene Iterationsverfahren durch. Auf diese Weise erhalten wir eine Kombination der Lösung des obigen Approximationsproblems mit der in Abschnitt 3.2.2 beschriebenen schrittweisen, kooperativen, spieltheoretischen Lösung des Problems der Steuerbarkeit aus Abschnitt 3.2.1.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Kapitel 3 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Darstellung in Kapitel 3 der Quelle Krabs 1998. Die Abschnitte werden in ihrer Reihenfolge vertauscht.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH; Primzahl

[26.] Analyse:Wpi/Fragment 084 17 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2019-04-21 10:16:18 Lascana

Fragment, Krabs 1998, SMWFragment, Schutzlevel, Seiten mit Math-Fehlern, Seiten mit Math-Renderingfehlern, Unfertig, Verschleierung, Wpi

Typus Verschleierung

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 84, Zeilen: 17-25

Quelle: Krabs 1998 Seite(n): 96, 97, Zeilen: 96: 1-9, 31 ff. (bis Seitenende); 97: 21-28

4.1 Entwicklung eines Kosten-Spiels Betrachten wir zunächst noch einmal die Systemdynamik des nichtlinearen zeitdiskreten Systems, das die Abhängigkeit zwischen aufgewendeten Mitteln $M_i$ und erzielten Reduktionsanteilen von Emissionen $E_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ beschreibt: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{3} &E_i(t+1) &&= &&E_i(t) + \sum^n_{j=1} \,em_{ij}(t) M_j(t) \tag{4.1.1}\\ &M_i(t+1) &&= &&M_i(t) - \lambda_i M_i(t) [M^\ast_i - M_i(t)] \{ E_i(t) + \varphi_i \Delta E_i(t) \}\\ & && &&\text{mit } \Delta E_i(t) = E_i(t+1) - E_i(t) \text{ können wir schreiben}\\ &E_i(t+1) &&= &&E_i(t) + \sum^n_{j=1} \,em_{ij}(t) M_j(t) \tag{4.1.2}\\ &M_i(t+1) &&= &&M_i(t) - \lambda_i M_i(t) [M^\ast_i - M_i(t)] \{ E_i(t) + \varphi_i \sum^n_{j=1} \,em_{ij}(t) M_j(t) \} \end{alignat*} }

[S. 96, 1-9] 3.2.6 Anwendung auf ein Konfliktmodell Wir betrachten $n$ Nationen, die wechselseitig in friedlichen oder feindlichen Beziehungen zueinander stehen und sich durch Aufrüstung gegen wachsende Bedrohung zu schützen versuchen bzw. durch Abrüstung auf verminderte Bedrohung reagieren. Wir denken uns die Dynamik dieses Prozesses beschrieben durch das folgende System von Differenzengleichungen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &S_i(t+1) &&= S_i(t) + \sum^n_{j=1} \,sc_{ij} C_j(t)\;, \tag{3.53}\\ &C_i(t+1) &&= C_i(t) - k_i C_i(t) (C^\ast_i - C_i(t)) ( S_i(t) + \tau_i \sum^n_{j=1} \,sc_{ij} C_j(t) ) \end{alignat*} } für $i=1,\ldots,n$ und $t \in \mathbb{N}_0$. [S. 96, 31 ff. (bis Seitenende)] [...] wobei $\Delta S_{i}(t)=S_{i}(t+1)-S_{i}(t)$ ist für $i=1,\ldots,n$ und $t \in \mathbb{N}_0$. [S. 97, 21-28] Daher denken wir uns die Dynamik (3.53) gesteuert mit dem Zweck, das Ziel (3.56) mit (3.57) für alle $t \ge N$ und ein passendes $N \in \mathbb{N}_0$ zu erreichen. Die Steuerung denken wir uns über die Kosten auf folgende Weise Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &S_i(t+1) &&= S_i(t) + \sum^n_{j=1} \,sc_{ij} (C_j(t) + u_j(t)) \\ &C_i(t+1) &&= C_i(t) - k_i C_i(t) (C^\ast_i - C_i(t)) \tag{3.58}\\ & &&\times ( S_i(t) + \tau_i \sum^n_{j=1} \,sc_{ij} (C_j(t) + u_j(t))) \end{alignat*} } für $i=1,\ldots,n$ und $t \in \mathbb{N}_0$.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Krabs 1998. (2) Einfache Vertauschung der Buchstaben: Quelle Krabs: $S_{i}\,\vert \,C_{j}\,\vert \,C_{i}^{\ast }\,\vert \,k_{i}\,\vert \,sc_{ij}$ Betrachtete Arbeit: $E_{i}\,\vert \,M_{j}\,\vert \,M_{i}^{\ast }\,\vert \,\lambda _{i}\,\vert \,em_{ij}$ (3) Auch frühere Arbeiten kommen als Quelle in Frage, zum Beispiel M. Jathe, W. Krabs, J. Scheffran: Control and game-theoretical treatment of a cost-security model for disarmament. Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol. 20, 1997, pp. 653-666. Auf Seite 653 findet sich die folgende Passage, die den in der betrachteten Arbeit dargestellten Gleichungen entspricht: " 1. The uncontrolled model In [2] the so-called SCX-model was derived in order to give a mathematical description of the dynamics of armament or disarmament, involving n nations that are mutually in peaceful or hostile relations to each other. The resulting difference equations in this time-discrete model read as follows: $\displaystyle {\mathcal {S}}_{i}(t+1)={\mathcal {S}}_{i}(t)+\sum _{j=1}^{n}\,sc_{ij}(t){\mathcal {C}}_{j}(t)\qquad \qquad (1.1)$ $\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}(t+1)={\mathcal {C}}_{i}(t)-k_{i}{\mathcal {C}}_{i}(t)({\mathcal {C}}_{i}^{\ast }-{\mathcal {C}}_{i}(t))({\mathcal {S}}_{i}(t)+\tau _{i}\sum _{j=1}^{n}\,sc_{ij}(t){\mathcal {C}}_{j}(t))\qquad \qquad (1.2)$ for $i=\{1,\ldots ,n\}$ and $t \in \mathbb{N}_0$. In these equations ${\mathcal {S}}_{i}(t)$ stands for a quantity by which the $i$th nation measures its security at the time $t$." Hierbei wird auf die folgende Quelle verwiesen: [2] Scheffran, J., ‘Strategic defense, disarmament, and stability — modelling arms race phenomena with security and costs under political and technical uncertainties’, Doctoral Thesis, Marburg, IAFA, 1989.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana); HanneloreH