Analyse:Wpi/Fragment 152 01

Typus ÜbersetzungsPlagiat

Bearbeiter BaronMuenchhausen

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 152, Zeilen: 1-17; S. 153, 1

Quelle: Brayton und Tong 1979 Seite(n): 228, Zeilen: 41-53

Lemma 6.4.2 Es sei $u_i$ ein Extremalpunkt der Menge $B_{k-1}$ und $z_i = M^j_{k'} u_i,\;j\in \mathbb{N}_0$. Die Menge $B_k$ ist genau dann vollständig bestimmt, d.h. die ermittelten Extremalpunkte $\{ z_1,\ldots{[sic!]} z_r \}$ beschreiben die komplexe Hülle von $B_k = \mathcal{H}\{ z_1,\ldots,z_r \},$ wenn $M_{k'} z_i \in \mathcal{H}\{ z_1,\ldots {[sic!]} z_r \}\; (i=1,\ldots,r) \qquad(6.4.25)$ gilt. Beweis. Wir nehmen zunächst an, daß $M_{k'} z_i \in \mathcal{H}\{ z_1,\ldots [sic!] z_r \} = U$ , $(i=1,\ldots,r)$ gilt. Falls nun $M_{k'} z_i \in U$ ist, dann gilt dies auch für das Innere von $U$, da $z_i$ Extremalpunkt von $U$ ist. Somit gilt $M_{k'} U \subseteq U$. Damit gilt aber auch $B_k = \mathcal{H} \biggl[ \bigcup^\infty_{i=0} M^i_{k'} B_{k-1} \biggr] \subseteq U$ Da dann auch $M_{k'} B_k \subseteq B_k$ gilt, können wir wie folgt schliessen: Falls es einen Punkt $z \in U$ gibt, der nicht in math> B_k </math> liegt, dann muß es auch einen Extremalpunkt $z$ von $U$ geben, der nicht in $B_k$ liegt. Denn entweder handelt es sich selbst um einen Extremalpullkt oder er wird von einem Extremalpunkt eingegrenzt. Für die Extremalpunkte der Menge $U$ gilt jedoch nach Voraussetzung, daß $z=M_{k'}^{j}{\widetilde {u}}$ ist, wobei $\widetilde{u}$ selbst Extremalpunkt der Menge $B_{k-1}$ ist. Augrund der Konstruktionsweise von $B_k$ muß daher $B_k = U$ gelten.

Lemma 6 Let $z_i = M^j_{k'} u_i$ for some j and some $u_i \in E[W_{k-1}]$. Then $\mathcal{H}\{ z_1,\cdots,z_r \} = W_k$ (defined by Theorem 3) if and only if $M_{k'} z_i \in \mathcal{H}\{ z_1,\cdots,z_r \}$, for $i=l,\cdot ,r$. Proof: Let $U = \mathcal{H}\{ z_1,\cdots,z_r \}$. If $M_{k'}z_{i}\in U_{i}$, then $M_{k'} U \subseteq U$. Thus $M^j_{k'} U \subseteq U$ and hence $W_k = \mathcal{H}\{ \cup^\infty_{i=0} M^i_{k'} W_{k-1} \} \subseteq U$. Since $M_{k'} W_k \subseteq W_k$, if there exists a point $z \in U$ but $z \not\in W_k$, there must be an extreme point of $U$ not in $W_k$. However this contradicts the fact that the extreme points of $U$, being of the form $M^j_{k'} u_i$, where $u_i \in E(W_{k-1})$, must be in $W_k$. Thus $U = W_k$.

Anmerkungen Kapitel 6 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Quelle Brayton und Tong 1979. Dies gilt für Definitionen, Lemmata, Theoreme und Beweise. Fehlen Beweise in der Quelle, fehlen sie auch in der untersuchten Arbeit. Neue Erkenntnisse sind nicht erkennbar.

Sichter (BaronMuenchhausen)