VroniPlag Wiki

This Wiki is best viewed in Firefox with Adblock plus extension.

MEHR ERFAHREN

VroniPlag Wiki


Typus
BauernOpfer
Bearbeiter
BaronMuenchhausen
Gesichtet
Yes.png
Untersuchte Arbeit:
Seite: 149, Zeilen: 1-(komplett)
Quelle: Brayton und Tong 1979
Seite(n): 227, Zeilen: 3-27, rechte Spalte
6.4 Die Konstruktion der

Es ist nun das Ziel, mithilfe eines konstruktiven Algorithmus die Liapunov-Funktion für eine Menge von Matrizen zu bestimmen. In dem folgenden Satz betrachten wir zunächst eine endliche Menge von Matrizen, die über ein iteratives Verfahren die einzelnen erzeugen. Die dazugehörige Norm ergibt sich dann, wenn man die Vereinigung der erzeugten Bereiche betrachtet. Stabilität liegt genau dann vor, wenn beschränkt ist [BT79]:

Satz 6.4.1 Gegeben sei eine endliche Menge von -Matrizen. Es sei [sic!] eine beschränkte Menge, die den Ursprung als Element besitzt. Definiert man nun sukzessive für die Bereiche

dann ist genau dann stabil, falls beschränkt ist.

Beweis. Wir gehen zunächst davon aus, daß beschränkt ist. Es gilt zu zeigen, daß dann stabil ist. Es folgt zunächst unmittelbar, daß

gilt. Brayton und Tong [BT79] zeigen nun mithilfe vollständiger Induktion, daß für jedes Element und für jede Matrix der folgenden Form

die Beziehung

Wir nehmen daher an, daß ist. Dann liegt notwendigerweise in einer Menge , da diese ja erzeugen, und nach (6.4.20) auch in allen nachfolgenden Mengen liegt. Somit ist

Daher ist für in (6.4.21).

Wir können nun also annehmen, daß für ein der Punkt ist.

Betrachten wir die Matrix mit


________________________________________

1 beschreibt die konvexe Hülle der Menge .

IV. A CONSTRUCTIVE THEOREM FOR STABILITY

There is no widely applicable theoretical procedure for establishing the form of the Liapunov function as described in Theorem 1. However, an iterative algorithm will now be presented which can determine the stability of a set of matrices in virtually all cases. We do not believe that any other extant approach is as simple, or as powerful as the one which follows.

Theorem 3 (Constructive Theorem) Given a finite set of distinct complex matrices. Let be a bounded neighborhood of the origin. Define, for ,

Then is stable if and only if is bounded.

Proof: Let be bounded. Observe that . We will show, by induction on , that for any and for any of the form

(with , and if ), .

Say ; then for some and hence . Hence for . Thus for . Assume that for , . Let

with conditions as above. [...]

denotes the convex hull.

Anmerkungen

Kapitel 6 der betrachteten Arbeit folgt weitgehend der Quelle Brayton und Tong 1979. Neue Erkenntnisse sind nicht erkennbar. Der Satz wird nicht verwendet.

Sichter
(BaronMuenchhausen), HanneloreH