Analyse:Wpi/Fragment 100 02

Typus BauernOpfer

Bearbeiter HanneloreH, BaronMuenchhausen

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 100, Zeilen: 1 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Sebastian Sieber 1981 Seite(n): 24, 26, 27, Zeilen: 3-19; 29-32; 1-7

Lemma 4.1.4 Es seien $Y_1 \subset \mathbb{R}$ und $Y_2 \subset \mathbb{R}$. Ferner seien $g_1$ und $g_{2}$ als stetig angenommen, die Mengen $Y_1$ und $Y_2$ seien jeweils kompakt. Dann gilt $\displaystyle \underset{y_2 \in Y_2}{\underset {y_1\in Y_1}{\max}} \, [g_1(y_1)+g_2(y_1,y_2)] = \underset{y_1\in Y_1}{\max}\, [g_1(y_1)+\underset {y_2\in Y_2}{\max} g_2(y_1,y_2)]$ $\Longrightarrow f_{N-j}(x_j) = \displaystyle\underset{u_j\in U_j (x_j)}{\max} \biggl\{ V_j(x_j,u_j) + \underset{t=j+1,\ldots,N-1}{ \underset{u_t\in U_t(x_t)}{\max}} \biggl[ \sum^{N-1}_{t=j+1} V_t(x_t,u_t) + V_N(x_N) \biggr] \biggr\}$ $\displaystyle =\underset{u_j\in U_j (x_j)}{\max} \big\{ V_j(x_j,u_j) + \underset{t=j+1,\ldots,N-1}{\underset{u_t\in U_t(x_t) }{\max}} Z^*_{j+1} (x_{j+1},u^{j+1})\big\}$ $\displaystyle = \underset{u_j\in U_j (x_j)}{\max} \big\{ V_j(x_j,u_j) + f_{N-(j+1)}(x_{j+1}) \big\} \qquad\qquad j= 0,1,\ldots, N-1$ $\qquad (4.1.31)$ Setzt man nun die Beziehung $x_{t+1} = T_t(x_t,u_t)$, die das Prozeßverhalten beschreibt, in den letzten Ausdruck ein, so erhält man die Bellmannsche Funktionalgleichung für die Optimalwertfunktion $f_{N-j}(x_j)$: $f_0(x_N) = V_N(x_N)$ $\displaystyle f_{N-t}(x_t) = \underset{u_j\in U_j (x_t)}{\max} \big\{V_t(x_t,u_t) + f_{N-(t+1)} (T_t(x_t,u_t)) \big\} \qquad\qquad (4.1.32)$ Wie in [Bol76] gezeigt wird, erweisen sich diese Funktionalgleichungen als notwendige und hinreichende Bedingungen für eine optimale Steuerung $\tilde{u}^t$. Somit ist jede Lösung der Funktionalgleichung eine optimale Steuerung des Prozesses und jede optimale Steuerung des Prozesses eine Lösung von (4.1.32). 4.1.6 Die Lösung der Bellmannschen Funktionalgleichung Die in (4.1.32) formulierten Bellmannschen Funktionalgleichungen beinhalten, wie schon bei der Herleitung deutlich wurde, ein Lösungsverfahren für unser Ausgangsproblem. Wir beginnen mit den allgemeinen Gleichungen in (4.1.32) und betrachten die letzte Stufe für $t=N-1$: $f_1(x_{N-1})=\underset{u_{N-1}\in U_{N-1} (x_{N-1})}{\max} \big\{V_{N-1}(x_{N-1},u_{N-1})+f_0(T_{N-1}(x_{N-1},u_{N-1}))\big\}$ $\qquad (4.1.33)$ Dies ist jedoch in der Struktur ein einfaches Optimierungsproblem. Allerdings weiß man natürlich nicht, welcher Wert $x_{N-1}$ am Eingang anliegt. Daher nimmt man zunächst ein beliebiges, aber fest gewähltes $x_{N-1}$ an und löst dafür das entsprechende Optimierungsproblem. Denjenigen Wert, für den der geschweifte Klammerausdruck sein Maximum annimmt, wollen wir mit $u^\ast$ bezeichnen.

[S. 24, 3-19] Nun gilt die Beziehung $\displaystyle = \underset{y_2 \in Y_2}{\underset{y_1\in Y_1}{\text{Max}}} [g_1(y_1)+g_2(y_1,y_2)] = \underset{y_1\in Y_1}{\text{Max}} \,[g_1(y_1)+\underset{y_2\in Y_2}{\text{Max}} \, g_2(y_1,y_2)],$ woraus folgt $f_{N-j}(x_j) = \displaystyle\underset{u_j\in U_j (x_j)}{\text{Max}} \biggl\{ W_j(x_j,u_j) + \underset{i=j+1,\ldots,N-1}{\underset{u_i\in U_i(x_i)} {\text{Max}}} \biggl[ \sum^{N-1}_{i=j+1} W_i(x_i,u_i) + W_N(x_N) \biggr] \biggr\}$ oder $f_{N-j}(x_j) = \displaystyle\underset{u_j\in U_j (x_j)}{\text{Max}} \Bigl\{ W_j(x_j,u_j) + \underset{i=j+1,\ldots,N-1}{\underset{u_i\in U_i(x_i)}{\text{Max}}} Z^*_{j+1} (x_{j+1},u^{j+1}) \Bigr\}$ $= \underset{u_j\in U_j (x_j)}{\text{Max}} \big\{ W_j(x_j,u_j) + f_{N-(j+1)}(x_{j+1})\big\}, j= 0,1,\ldots, N-1.$ Setzt man schließlich die Nebenbedingung $x_{j+1} = T_j(x_j,u_j)$ in den letzten Ausdruck ein, so erhält man die Bellmannsche Funktionalgleichung für die Optimalwertfunktion $f_{N-j}(x_j)$: $~\qquad\qquad f_0(x_N) = W_N(x_N)$ $f_{N-j}(x_j) = \displaystyle\underset{u_j\in U_j (x_j)}{\text{Max}} \big\{W_j(x_j,u_j) + f_{N-(j+1)} (T_j(x_j,u_j)) \big\} \qquad\qquad\qquad\qquad (1.36)$ für $j= N-1,\ldots,1,0.$ Diese Funktionalgleichungen erweisen sich als notwendige und hinreichende Bedingungen für eine optimale Steuerung $\hat{u}^j$. Jede optimale Steuerung ist also eine Lösung der Funktionalgleichungen und umgekehrt. Den Beweis hierfür findet man in [6]. [S. 26, 29-32] 1.4 Zur Lösung der Bellmannschen Funktionalgleichungen [...] Mit Hilfe der Bellmannschen Funktionalgleichungen (1.36) ist es möglich, ein Lösungsverfahren für die Ausgangsaufgabe (A) anzugeben. [S. 27, 1-7] Auf der letzten Stufe ist $j=N-1$, und die entsprechende Aufgabe lautet: $f_1(x_{N-1})=\underset{u_{N-1}\in U_{N-1} (x_{N-1})}{\text{Max}} \big\{W_{N-1}(x_{N-1},u_{N-1})+f_0(T_{N-1}(x_{N-1},u_{N-1}))\big\}.\qquad(1.38)$ Es wird zunächst ein beliebiges festes $x_{N-1} \in X_{N-1}$ ausgewählt und danach das Maximum des Ausdrucks in der geschweiften Klammer von (1.38) auf dem durch $x_{N-1}$ festgelegten Bereich $U_{N-1}(x_{N-1})$ bestimmt. Diejenige Steuervariable, die das Maximum liefert, wird mit $\hat{u}_{N-1}$ bezeichnet.

Anmerkungen (1) Aus verschiedenen Versatzstücken der Quelle Sebastian Sieber 1981 zusammengesetzt. (2) Die betrachtete Arbeit gibt auf S. 99 den nachfolgenden Hinweis auf die Quelle Sebastian Sieber 1981: "Mithilfe des folgenden Lemmas ist es möglich, das Problem in zwei Teilprobleme zu zerlegen, woraus sich dann unmittelbar das sukzessive Vorgehen ergibt [uNS80]." Die betrachtete Arbeit gibt hierzu folgenden Literaturverweis: [uNS80] H.J. Sebastian und N. Sieber: Diskrete dynamische Optimierung. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1981. (3) Die betrachtete Arbeit gibt den Literaturverweis [Bol76]: "W.G. Boltjanski. Optimale Steuerung diskreter Systeme. Leipzig Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig, 1976. Übersetzung aus dem Russ." An entsprechender Stelle verweist die Quelle Sebastian Sieber 1981 auf [6] Boltjanski, W. G.: Optimale Steuerung diskreter Systeme (Übers. a. d. Russ.). Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. 1971.

Sichter (HanneloreH, BaronMuenchhausen), Lascana