Analyse:Wpi/Fragment 090 07

Typus BauernOpfer

Bearbeiter BaronMuenchhausen, Lascana

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 90, Zeilen: 7 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Driessen 1988 Seite(n): 20, 21, Zeilen: 20: 36 f. (bis Seitenende); 21: 1-26

Abschließend soll noch einmal deutlich gemacht werden, weshalb das Core-Konzept eine Weiterentwicklung der stabilen Mengen darstellt, bzw. weshalb man eigentlich zum Begriff des Core übergegangen ist. Zunächst kann man feststellen, daß jede stabile Menge eines kooperativen $n$-Personenspiels den Core enthält [Dri86a]: Satz 4.1.1 Es sei $v \in G^n$. Falls $y \in \, Core(v)$ ist, dann existiert kein $x \in I(v)$, das $y$ dominiert. Beweis. Es sei $y \in \, Core(v)$ [sic!] . Angenommen es gebe ein $x \in I(v)$ ,[sic!] das $y$ dominiert. Nach [sic!] (4.1.7) und [sic!] (4.1.8) existiert dann eine Teilmenge $K \in Pot(\mathcal{N})$ mit $x_i > y_i$ für alle $i \in K$ und $\displaystyle\sum_{k \in K} x_k \le v(K)$. Somit folgt $y(K) < x(K) \le v(K)$, was der Definition des Core [sic!] (4.1.9) widerspricht. $\Box$ Für super-additive Spiele ergibt sich Satz 4.1.2 Es sei $v \in G^n$ ein super-additives Spiel. Dann gilt $Core(v) = \{ y \in I(v) \,|\, \forall x \in I(v)\; : \; x \neg dom\, y \}$ Beweis. Es sei $v$ ein super-additives Spiel. Liegt nun $y$ in $Core(v)$, dann existiert nach Satz 4.1.1 kein $x \in I(v)$, das $y$ dominiert. Daher bleibt zu zeigen, daß für jedes $x \in I(v) \setminus \,Core(v)$ ein $y \in I(v)$ existiert, das $x$ dominiert, d.h. $y\,dom\, x$. Sei also $x \in I(v) \setminus \,Core(v)$. Dann gibt es eine Teilmenge Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{equation*} \qquad K \subseteq \mathcal{N},\; K \ne \mathcal{N}, \emptyset \text{ mit } x(K) < v(K). \tag{4.1.10} \end{equation*} } Nun konstruiert man die folgenden Vektoren Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{align*} \qquad \rho &:= v(\mathcal{N}) - v(K) - \displaystyle\sum_{k \in \mathcal{N} \setminus K} v(\{k\}) \tag{4.1.11}\\ \varrho &:= v(K) - x(K) \tag{4.1.12}\\ y_i &:= \begin{cases} x_i + \frac{\varrho}{|K|}, &\text{ falls } i \in K\\ v(\{i\}) + \frac{\varrho}{|\mathcal{N} \setminus K|}, &\text{ falls } i \in \mathcal{N} \setminus K\\ \end{cases} \tag{4.1.13} \end{align*} } Da durch [sic!] (4.1.10) $\varrho > 0$ ist ,[sic!] gilt $y_i > x_i$ für alle $i \in K$; ferner gilt $v(\mathcal{N}) = \displaystyle\sum_{i \in \mathcal{N}} y_i$ und $y(S) = v(S)$, $\forall S \subset Pot(\mathcal{N})$.

[S. 20, 36 f. (bis Seitenende)] The relationship of the core to the stable sets will be derived from the next theorem. According to part (i) of [S. 21, 1-26] the theorem, the core of any game is included in the set of all undominated imputations for the game (and therefore, the core is always internally stable). In general, this inclusion is strict, but part (ii) of the theorem states that for superadditive games the inclusion is an equality. Part (ii) is due to Shapley and Shubik (1969). THEOREM 4.2. Let $\text{v} \in \text{G}^\text{n}$. Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} &\text{(i)} &\;& \text{If x} \in \text{C(v), then there exists no y} \in \text{I(v) such that y}\,\text{dom}\, \text{x}.\\ &\text{(ii)} &\;& \text{If the game v is superadditive,}\\ & &\;& \text{then C(v)} = \{ \text{x} \in \text{I(v)} \,|\, \text{there is no y} \in \text{I(v) with y} \,\text{dom}\, \text{x}\}. \end{alignat*} } PROOF. (i) Let $\text{x} \in \text{C(v)}$. Assume that there exists $\text{y} \in \text{I(v)}$ such that $\text{y}\,\text{dom}\,\text{x}$. By (2.6), there exists $\text{S} \subset \text{N},\; \text{S} \ne \emptyset$, with $\text{x(S)} < \text{y(S)} \le \text{v(S)}$. Thus, $\text{x(S)} < \text{v(S)}$ which strict inequality is in contradiction with $\text{x} \in \text{C(v)}$ by (2.8). So, the statement in part (i) holds. (ii) Let the game v be superadditive. Let $\text{x} \in \text{I(v)} - \text{C(v)}$. We show that there exists $\text{y} \in \text{I(v)}$ such that $\text{y}\,\text{dom}\,\text{x}$. (2.9) Since $\text{x} \in \text{I(v)} - \text{C(v)}$, there exists $\text{S} \subset \text{N},\;\text{S}\ne \text{N},\emptyset$, with $\text{x(S)} < \text{v(S)}$. Put $\alpha := \text{v(S)} - \text{x(S)} \quad\text{and}\quad \beta := \text{v(N)} - \text{v(S)} - \displaystyle\sum_{\text{j} \in \text{N} - \text{S}} v(\{\text{j}\}).$ Define the vector $\text{y} \in \mathbb{R}^\text{n}$ by Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{2} \qquad \text{y}_\text{i} :&= \text{x}_\text{i} + |\text{S}|^{-1} \alpha \qquad &&\text{if i} \in \text{S}\\ &= \text{v(}\{\text{i}\}\text{)} + |\text{N-S}|^{-1} \beta \qquad &&\text{if i} \in \text{N}-\text{S}. \end{alignat*} } Then $\text{y(N)} = \text{v(N)}$, $\text{y(S)} = \text{v(S)}$ and $\text{y}_\text{i} > \text{x}_\text{i}$ for all $\text{i} \in \text{S}$ because of $\alpha>0$.

Anmerkungen (1) Seite 90 der betrachteten Arbeit entspricht weitgehend Seite 21 der Quelle Driessen 1988. Vor Satz 4.1.1 und dessen kurzem Nachweis wird [Dri86a] genannt. Die Sätze und Beweise auf den nachfolgenden Seiten - inbesondere Satz 4.1.2 auf Seite 90 - werden mit keinem Literaturverweis versehen und entsprechen nahezu wörtlich bei Umbennung einiger Variablen den Ausführungen in der Quelle Driessen 1988. (2) In der vorliegenden Form als "Übersetzungsplagiat" wertbar, wird hier jedoch einer konservativen Einordnung folgend als "Bauernopfer" gewertet. (3) Eine Verwendung von Satz 4.1.2 in der weiteren Arbeit ist nicht erkennbar und dieser steht somit nicht im Kontext der betrachteten Arbeit.

Sichter (BaronMuenchhausen, Lascana), HanneloreH, Felixkrull