Analyse:Wpi/Fragment 002 01

Typus ÜbersetzungsPlagiat

Bearbeiter BaronMuenchhausen, FelixKrull

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 2, Zeilen: 1-17, 23 ff. (bis Seitenende)

Quelle: Driessen 1988 Seite(n): 3, 11, Zeilen: 3: 25-31, 36 ff. (bis Seitenende); 11: 1, 3-17

[S. 2, 1-17] Die Elemente der Menge $\mathcal N$ sind die Spieler bzw. Akteure des Spiels; die Funktion $v$ als Auszahlungsfunktion gibt an, wieviel eine Teilmenge $S$ von $\mathcal N$ erhält, wenn sie gemeinsam operieren. Eine solche Teilmenge $S$ von $\mathcal N$ bezeichnet man dann als Koalition. Der Wert der Koalition $v(S)$ gibt allerdings noch nicht an, wieviel die einzelnen Akteure innerhalb der Koalition erhalten werden. Die Menge $\mathcal N$ stellt selbst die große Koalition dar, wobei wir aus Gründen der Übersicht im folgenden $S \ne \mathcal{N}$ und $S \ne \emptyset$ fordern wollen. Die Anzahl der Akteure in der Menge $S$ geben wir mit $\vert S \vert$ an. Ebenfalls nehmen wir an, daß die einzelnen Spieler numeriert sind, so daß wir schreiben können $\mathcal{N} = \{1,2,\ldots,n\}$. 1.2 Notationen Die mengenwertige Funktion $v : Pot(\mathcal{N}) \rightarrow \mathbb{R}$ mit $v(\emptyset) = 0$ nennen wir null-normalisiert , falls gilt: $v(\{i\}) = 0$ für alle $i \in \mathcal{N}$, monoton , falls gilt: $v(S) \le v(T)$ für alle $S \subseteq T \subseteq \mathcal{N}$, null-monoton , falls gilt: $v(S) + \displaystyle\sum_{j \in T \setminus S} v(\{j\}) \le v(T)$ für alle $S \in \mathcal{N} \setminus T$, additiv , falls gilt: $v(S) = \displaystyle\sum_{j \in S} v(\{j\})$ für alle $S \subseteq T \subseteq \mathcal{N}$, super-additiv 1 , falls gilt: $v(S) + v(T) \le v(S \cup T)$ für alle $S,T \subseteq N$ mit $S \cap T = \emptyset$. [S. 2, 23 ff. (bis Seitenende] Es ist für zwei disjunkte Mengen von Mitspielern stets vorteilhaft, sich zusammenzuschließen, da dadurch der Wert der entstehenden Koalition, der durch die mengenwertige Funktion $v : Pot(\mathcal{N}) \rightarrow \mathbb{R}$ beschrieben wird, größer ist als die Summe der beiden einzelnen Koalitionswerte. Es wird daher bei einem super-additiven Spiel nicht vorkommen, daß eine Koalition in Teilkoalitionen zerfällt. Monotonie bedeutet hingegen, daß der Wert einer Koalition nicht abnimmt, wenn die Koalition an Teilnehmern wächst. Es ist offensichtlich, daß Super-Additivität Null-Monotonie impliziert.  1 Wir bezeichnen das Spiel als subadditiv, falls $\langle \mathcal{N},-v \rangle$ superadditiv [sic!] ist. Ein Spiel mit der Eigenschaft $v(T \cup R) = v(T) + v(R)$ für $T \cap R = \emptyset$ nennt man unwesentlich. Somit haben alle wesentlichen monotonen Spiele eine superadditive [sic!] charakteristische Funktion.

[S. 3, 25-31] Elements of the set N are called players and the relevant set-function v the characteristic function of the game. A subset S of the player set N (notation: $\text{S} \subset \text{N}$) is called a coalition and v(S) the worth of coalition S in the game. The player set N itself is also called the grand coalition, whereas a coalition S is said to be nontrivial if $\text{S} \ne \text{N},\emptyset$. The number of players in a coalition S is denoted by $\vert \text{S} \vert$. [S. 3, 36 ff. (bis Seitenende)] In general, we shall suppose that the n players in N are numbered by 1, 2, $\cdots$ and n. So, unless stated otherwise, throughout this work we suppose $\text{N} = \{1,2,...,\text{n}\}$ and we also write $\text{G}^\text{n}$ instead of $\text{G}^{\text{N}}$. [S. 11, 1] 9. Notions [S. 11, 3-17] Here a set-function $\text{v}: 2^{\text{N}} \rightarrow \mathbb{R}$ with $\text{v}(\emptyset) = 0$ or equivalently, the n-person game v is called Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \begin{alignat*}{3} &\underline{\text{zero-normalized}} &&\text{ if } \text{v}(\{\text{i}\}) = 0 \qquad &&\text{ for all } \text{i} \in \text{N}\\ &\underline{\text{monotonic}} &&\text{ if } \text{v}(\text{S}) \le \text{v}(\text{T}) \qquad &&\text{ for all } \text{S} \subset \text{T} \subset \text{N}\\ &\underline{\text{zero-monotonic}} &&\text{ if } &&\\ & &&\text{v}(\text{S}) + \displaystyle\sum_{\text{j} \in \text{T}-\text{S}} \text{v}(\{\text{j}\}) \le \text{v}(\text{T}) &&\text{ for all } \text{S} \subset \text{T} \subset \text{N}\\ &\underline{\text{additive}} &&\text{ if } \text{v}(\text{S}) = \displaystyle\sum_{\text{j} \in \text{S}} \text{v}(\{\text{j}\}) &&\text{ for all } \text{S} \subset \text{N}\\ &\underline{\text{superadditive}} &&\text{ if } \text{v}(\text{S}) + \text{v}(\text{T}) \le \text{v}(\text{S} \cup \text{T}) &&\text{ for all } \text{S},\text{T} \subset \text{N}\\ & && &&\text{ with } \text{S} \cap \text{T} = \emptyset.\\ \end{alignat*} } The superadditivity notion states that it is advantageous (in terms of savings) for disjoint coalitions to form their union, while the monotonicity notion expresses that the worth does not decrease whenever the coalition is enlarged. Clearly, superadditivity implies zero-monotonicity.

Anmerkungen (1) Kein Verweis auf die Quelle Driessen 1988. (2) Die Definition der "Additivität" in der betrachteten Arbeit ist falsch. Statt $S \subseteq T \subseteq \mathcal{N}$ sollte es heißen: $S \subseteq \mathcal{N}$ (wie es auch korrekt in der Quelle Driessen 1988 angegeben wird). (3) Besonders auffällig: Die Fußnote verweist auf den Begriff der "charakteristischen Funktion". Dieser Begriff wurde in der betrachteten Arbeit nicht definiert. Die Quelle Driessen 1988 bezeichnet die Funktion v auf S. 3 und in der Definition auf S. 10 explizit als "characteristic function".

Sichter (BaronMuenchhausen), HanneloreH, Felixkrull, Lascana